Tangens en cotangens

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Tangens en cotangens zijn goniometrische functies. De naam tangens komt van 'raaklijn' in het Latijn (tangens betekent rakend). Het argument van de tangens en de cotangens wordt vaak gezien als een hoek en dat heeft te maken met de oorspronkelijke definitie van deze functies. De tangens was gedefinieerd als de verhouding van de overstaande en de aanliggende rechthoekszijde in een rechthoekige driehoek. Deze oorspronkelijke definitie beperkte echter het domein van het argument van 0° tot 90° (behalve 90° zelf, waar de tangens niet gedefinieerd is). De inverse functie van de tangens is de arctangens of boogtangens, die voor een gegeven waarde van de tangens als functiewaarde de oorspronkelijke hoek (tussen -90°en +90°) geeft.

Goniometrische cirkel[bewerken]

Goniometrische-cirkel-tan.png     Goniometrische-cirkel-cot.png

De functiewaarde van de tangens loopt van 0 tot ∞, voor een argument lopend van 0° tot 90°, en van -∞ terug naar 0 voor een argument lopend van 90° tot 180°; daarbuiten wordt de functie periodiek voortgezet. Daarnaast geldt dat \tan(-\alpha) = -\tan(\alpha).

Beide functies kunnen uitgedrukt worden in de sinus en de cosinus:

\, \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}
\, \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}.

De cotangens van een hoek is dus de omgekeerde van de tangens van die hoek (als cos(α)≠0 en sin(α)≠0):

\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}

De tangens wordt meestal aangeduid met tan, en de cotangens met cot. Vroeger werden de namen tg en cotg gebruikt.

Bijzondere waarden[bewerken]

graden 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°
radialen 0\, \tfrac16\pi \tfrac14\pi \tfrac13\pi \tfrac12\pi \tfrac23\pi \tfrac34\pi \tfrac56\pi \pi\, \tfrac32\pi
tangens 0\, \tfrac13\sqrt{3} 1\, \sqrt{3} geen -\sqrt{3} -1\, -\tfrac13\sqrt{3} 0\, geen
cotangens geen \sqrt{3} 1\, \tfrac13\sqrt{3} 0\, -\tfrac13\sqrt{3} -1\, -\sqrt{3} geen 0\,

Machtreeks[bewerken]

De tangens en cotangens kunnen ook in de vorm van een machtreeks geschreven worden, bijvoorbeeld als Taylorreeks. Voor |x| < \tfrac{\pi}{2} geldt:

\tan (x) = x + \tfrac 13 x^3 + \tfrac{2}{15} x^5 + \tfrac{17}{315}x^7+ \dots = \sum_{n=1}^\infty |B_{2n}| \frac{2^{2n} \left(2^{2n}-1\right)}{(2n)!}  x^{2n-1}
\cot (x) = x^{-1} - \tfrac 13 x - \tfrac 1{45} x^3 - \tfrac {2}{945} x^5 - \cdots = 
\sum_{n=0}^\infty  (-1)^n B_{2n}\frac{2^{2n} }{(2n)!}x^{2n-1}

Daarin is B_n het zogenaamde n-de Bernoulligetal.

Beschouwt men x als hoek, dan is x uitgedrukt in radialen.

Praktische toepassingen[bewerken]

Schaduwlengte[bewerken]

De lengte L van de slagschaduw van een voorwerp kan geschreven worden als functie van de zonnehoek α en de loodrechte hoogte H van het voorwerp:

\, L = \frac{H}{\tan(\alpha)}

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]