Telegraafvergelijkingen

Oliver Heaviside heeft de transmissielijntheorie uitgewerkt, ook bekend als de telegraafvergelijkingen. De twee telegraafvergelijkingen samen beschrijven hoe elektrische signalen zich in transmissielijnen voortplanten. Ze bestaan uit twee gekoppelde differentiaalvergelijkingen voor elektrische spanning en elektrische stroom als functie van tijd en plaats.

De vergelijkingen

De telegraafvergelijkingen zijn ontstaan door toepassing van de vergelijkingen van Maxwell op transmissielijnen met twee geleiders. De lijn kan opgedeeld gedacht worden in stukjes ter lengte $dx$, bestaande uit een in serie geschakelde weerstand $rdx$ en een zelfinductie $ldx$, en een parallel geschakelde geleiding $gdx$ en een capaciteit $cdx$, volgens onderstaan schema:

Voor de spanning U en de stroomsterkte I als functie van de plaats x en de tijd t, gelden de volgende gekoppelde partiële differentiaalvergelijingen.

${\partial \over {\partial x}}U(x,t)=-{{l{\partial \over {\partial t}}I(x,t)}}-rI(x,t)$

${\partial \over {\partial x}}I(x,t)=-{{c{\partial \over {\partial t}}U(x,t)}}-gU(x,t)$

Daarin zijn c, l, r en g de gedistribueerde lijnparameters. Deze stellen respectievelijk per lengte-eenheid de capaciteit, de inductie, de weerstand en de geleiding tussen de beide geleiders voor.

Vanwege de lineariteit van de vergelijkingen kunnen we gebruikmaken van het superpositiebeginsel, waardoor voor een bepaalde cirkelfrequentie ω de vergelijkingen reduceren tot het tweetal gekoppelde differentiaalvergelijkingen voor de amplituden u en i van spanning en stroom als functie van de plaats x:

$\frac{d}{dx}u(x)=-(r+j\omega l)i(x)$

$\frac{d}{dx}i(x)=-(g+j\omega c)u(x)$.

Het is gebruikelijk de 4 lijnparameters weer te geven in de twee complexe parameters

$Z_0 = \sqrt{\frac{r+j\omega l}{g+j\omega c}}$, de karakteristieke impedantie

en

$\gamma = \sqrt{(r+j\omega l)(g+j\omega c)}$, de voortplantingscoëfficiënt.

Schrijven we nog

$v(x) = i(x)Z_0\,$,

zodat v de spanning voorstelt die de stroom i over de karakteristieke impedantie opwekt, dan reduceren de vergelijkingen verder tot:

$\frac{d}{dx}u(x)=-\gamma \cdot v(x)$

$\frac{d}{dx}v(x)=-\gamma \cdot u(x)$.

Oplossing:

$u(x)=u_0^{+} e^{- \gamma x}+u_0^{-} e^{+ \gamma x}$

$v(x)=u_0^{+} e^{- \gamma x}-u_0^{-} e^{+ \gamma x}$,

waarin de constanten bepaald worden door de amplitude $u_0$ van de bronspanning en de belastingsimpedantie $Z_L$ aan het uiteinde (x=L) van de lijn:

$u_0=u(0)=u_0^{+}+u_0^{-}$

$\frac{Z_L}{Z_0}=z_L=u(L)/v(L)=\frac{u_0^{+} e^{- \gamma L}+u_0^{-} e^{+ \gamma L}}{u_0^{+} e^{- \gamma L}-u_0^{-} e^{+ \gamma L}}$.

Uit deze randvoorwaarden volgt:

$u_0^{+}=u_0\frac{(z_L+1)e^{\gamma L}}{(z_L+1)e^{\gamma L}+(z_L-1)e^{- \gamma L}}$

$u_0^{-}=u_0\frac{(z_L-1)e^{-\gamma L}}{(z_L+1)e^{\gamma L}+(z_L-1)e^{- \gamma L}}$

Met behulp van de reflectiecoëfficiënt Γ₀ aan het begin van de lijn, gegeven door:

$\Gamma_0 = \frac{z_L-1}{z_L+1} e^{-2 \gamma L}$

kan eenvoudiger geschreven worden:

$u_0^{+} = \frac{1}{1+\Gamma_0} u_0$

$u_0^{-} = \frac{\Gamma_0}{1+\Gamma_0} u_0$.

Dit is ook direct in te zien, daar de amplitudes van heen- en teruggaande golf zich aan het begin van de lijn verhouden als 1 : Γ₀.