Telmaat

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de telmaat een intuïtieve manier om een maat op te leggen aan een verzameling: de "grootte" van een eindige deelverzameling is het aantal elementen van deze deelverzameling. Van een oneindige deelverzameling is de telmaat ook oneindig.

Definitie[bewerken]

Laat (\Omega,\Sigma) een meetbare ruimte zijn met \Sigma de sigma-algebra van alle deelverzamelingen van \Omega. De functie \mu op deze meetbare ruimte, gedefinieerd door:

 \mu(A) = 
\begin{cases} 
|A| & \mbox{voor eindige deelverzamelingen }A\sub\Omega\\
 \\
 \infty & \mbox{voor oneindige deelverzamelingen }A\sub\Omega\\
\end{cases}

heet de telmaat, en is een maat op (\Omega,\Sigma).

Daarbij is |A| de kardinaliteit van A, dus voor eindige deelverzamelingen het aantal elementen.


De telmaat staat toe dat men veel uitspraken over Lp ruimten, zoals de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, de ongelijkheid van Hölder of de ongelijkheid van Minkowski, kan omzetten naar een meer bekende setting. Als Ω = {1,...,n} en S = (Ω, Σ, μ) de maatruimte is met telmaat μ op Ω, dan is Lp(S) gelijk aan Rn (of Cn), met een norm gedefinieerd door

\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \biggr )^{1/p}

voor x = (x1,...,xn). Het delen van de telmaat μ door het aantal n van elementen in Ω geeft de discrete uniforme verdeling.

Op gelijke wijze, als Ω wordt genomen als de verzameling van natuurlijke getallen en S de maatruimte met telmaat op Ω, dan bestaat Lp(S) van deze rijen x = (xn) waarvoor geldt dat

\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \biggr)^{1/p}

eindig is. Deze zogenaamde Lp-ruimte wordt vaak geschreven als \ell^p.

De telmaat op telbare verzamelingen is ook nuttig om stellingen uit Lebesgue-integratie theorie toe te passen op rijen. Voorbeelden zijn onder andere de monotone convergentiestelling, het lemma van Fatou, de gedomineerde convergentiestelling en de stelling van Fubini.