Telmaat

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de telmaat een intuïtieve manier om een maat op te leggen aan een verzameling: de "grootte" van een eindige deelverzameling is het aantal elementen van deze deelverzameling. Van een oneindige deelverzameling is de telmaat ook oneindig.

Definitie

Laat $(\Omega,\Sigma)$ een meetbare ruimte zijn met $\Sigma$ de sigma-algebra van alle deelverzamelingen van $\Omega$. De functie $\mu$ op deze meetbare ruimte, gedefinieerd door:

$\mu(A) = \begin{cases} |A| & \mbox{voor eindige deelverzamelingen }A\sub\Omega\\ \\ \infty & \mbox{voor oneindige deelverzamelingen }A\sub\Omega\\ \end{cases}$

heet de telmaat, en is een maat op $(\Omega,\Sigma)$.

Daarbij is $|A|$ de kardinaliteit van $A$, dus voor eindige deelverzamelingen het aantal elementen.

De telmaat staat toe dat men veel uitspraken over L^p ruimten, zoals de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, de ongelijkheid van Hölder of de ongelijkheid van Minkowski, kan omzetten naar een meer bekende setting. Als Ω = {1,...,n} en S = (Ω, Σ, μ) de maatruimte is met telmaat μ op Ω, dan is L^p(S) gelijk aan Rⁿ (of Cⁿ), met een norm gedefinieerd door

$\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \biggr )^{1/p}$

voor x = (x₁,...,x_n). Het delen van de telmaat μ door het aantal n van elementen in Ω geeft de discrete uniforme verdeling.

Op gelijke wijze, als Ω wordt genomen als de verzameling van natuurlijke getallen en S de maatruimte met telmaat op Ω, dan bestaat L^p(S) van deze rijen x = (x_n) waarvoor geldt dat

$\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \biggr)^{1/p}$

eindig is. Deze zogenaamde Lp-ruimte wordt vaak geschreven als $\ell^p$.

De telmaat op telbare verzamelingen is ook nuttig om stellingen uit Lebesgue-integratie theorie toe te passen op rijen. Voorbeelden zijn onder andere de monotone convergentiestelling, het lemma van Fatou, de gedomineerde convergentiestelling en de stelling van Fubini.