Telmaat

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de telmaat een intuïtieve manier om een maat op te leggen aan een verzameling: de "grootte" van een eindige deelverzameling is het aantal elementen van deze deelverzameling. Wanneer de deelverzameling oneindig is dan is telmaat ook oneindig.

Formeel gesproken; als men met een verzameling Ω start en vervolgens de sigma-algebra Σ op Ω beschouwt. Deze sigma-algebra bestaat uit alle deelverzamelingen van Ω. Definieer een maat μ op deze sigma-algebra door μ(A) = |A| te stellen als A een eindige deelverzameling van Ω is en μ(A) = ∞, als A een oneindige deelverzameling van Ω is, waar |A| voor de kardinaliteit van verzameling A staat. In dat geval is (Ω, Σ, μ) een maatruimte.

De telmaat staat toe dat men veel uitspraken over L^p ruimten, zoals de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, de ongelijkheid van Hölder of de ongelijkheid van Minkowski, kan omzetten naar een meer bekende setting. Als Ω = {1,...,n} en S = (Ω, Σ, μ) de maatruimte is met telmaat μ op Ω, dan is L^p(S) gelijk aan Rⁿ (of Cⁿ), met een norm gedefinieerd door

$\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \biggr )^{1/p}$

voor x = (x₁,...,x_n). Het delen van de telmaat μ door het aantal n van elementen in Ω geeft de discrete uniforme verdeling.

Op gelijke wijze, als Ω wordt genomen als de verzameling van natuurlijke getallen en S de maatruimte met telmaat op Ω, dan bestaat L^p(S) van deze rijen x = (x_n) waarvoor geldt dat

$\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \biggr)^{1/p}$

eindig is. Deze zogenaamde Lp-ruimte wordt vaak geschreven als $\ell^p$.

De telmaat op telbare verzamelingen is ook nuttig om stellingen uit Lebesgue-integratie theorie toe te passen op rijen. Voorbeelden zijn onder andere de monotone convergentiestelling, het lemma van Fatou, de gedomineerde convergentiestelling en de stelling van Fubini.