Tensor

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De tensor is een begrip uit de lineaire algebra dat veelvuldige toepassingen heeft in de differentiaalmeetkunde en daardoor ook in de materiaalkunde (vervorming van voorwerpen) en de relativiteitstheorie. Voor een behandeling van tensoren in dat kader, zie tensor (relativiteitstheorie). Tensoren kunnen beschouwd worden als een veralgemening van vectoren en matrices.

Definitie[bewerken]

Er zijn verschillende definities van het begrip tensor. Hoewel ze op het eerste gezicht zeer verschillend zijn, beschrijven ze toch hetzelfde meetkundige concept, zij het in verschillende termen en niveaus van abstractie.

Tensoren worden ingedeeld naar type (m,n), met m en n niet-negatieve gehele getallen. Daarvan duidt het getal m op het aantal zogenaamde contravariante indices en n op het aantal covariante indices. In totaal zijn er zo m + n indices, die elk p waarden kunnen aannemen, met p de dimensie van de ruimte. Een tensor van type (m,n) wordt gegeven door p^{m+n} getallen, namelijk één getal voor elke combinatie van indexwaarden.

Afhankelijk van de context wordt met een tensor vaak een entiteit op zichzelf bedoeld, onafhankelijk van het coördinatenstelsel. Als een tensor wordt gegeven door de p^{m+n} getallen moet men er dus bijzeggen voor welk coördinatenstelsel deze gelden. Voor een ander coördinatenstelsel, met toepassing van een basistransformatie van de onderhavige vectorruimte, kan men de getallen omrekenen. De termen contravariant en covariant geven daarbij aan hoe de betrokken indices getransformeerd moeten worden.

Met de term tensor wordt vaak ook bedoeld een tensorveld, dat wil zeggen een tensor afhankelijk van positie of ruimtetijdpositie.

Als meerdimensionale rij[bewerken]

Een vector v is voor te stellen als een eendimensionale getallenrij (v^1,\ldots, v^n) die samen met de bijbehorende geordende basis (e_1,\ldots, e_n) de vector bepaalt:

v=\sum_{i=1}^n v^i e_i = v^i e_i,

waarin de laatste uitdrukking volgens de einstein-sommatieconventie hetzelfde betekent als de daaraan voorafgaande som.

Analoog is een n\times n-matrix A een tweedimensionale getallenrij A^r_k, waarin A^r_k het element van A is op de r-de rij en in de k-de kolom. De matrix A stelt een afbeelding voor die de basisvector e_k afbeeldt op de beeldvector

A^1_ke_1+\ldots +A^n_ke_n = A^r_ke_r.

Een tensor T, als generalisatie van deze begrippen, is een meerdimensionale getallenrij. Voor m+n dimensies wordt het element met indices i_1,\ldots,i_m,i_{m+1},\ldots,i_{m+n} aangegeven door:

T^{i_1,\ldots,i_m}_{i_{m+1},\ldots,i_{m+n}}

Daarbij wordt onderscheid gemaakt tussen de zogeheten contravariante indices, die als bovenindices genoteerd worden en covariante indices, genoteerd als onderindices. Een dergelijke tensor wordt van het type (m,n) genoemd, met m dus het aantal contravariante indices, en n het aantal covariante.

Bij overgang op nieuwe basisvectoren (\hat{e}_1,\ldots,\hat{e}_n), gegeven in termen van de oude door

\hat{e}_i = {R^j}_i e_j

worden de coördinaten (\hat{v}^1,\ldots,\hat{v}^n) van de vector v met betrekking tot de nieuwe basis bepaald door:

\hat{v}^i = (R^{-1})^i_j v^j.

De coördinaten transformeren dus tegengesteld (via R^{-1}) aan de basisvectoren die via R transformeren. De vector heet daarom contravariant en de indices van de coördinaten eveneens contravariant. Zij worden genoteerd als bovenindices. Een contravariante vector is daarmee een tensor van type (1,0).

Voor de getransformeerde matrix \hat{A} geldt:

\hat{A}=R^{-1}A R

De elementen van \hat{A} worden dus gegeven door:

{\hat{A}^r}_k = (R^{-1})^r_i A^i_j R^j_k

De rij-indices van de matrixelementen transformeren dus via R^{-1}, dus contravariant, en de kolomindices via R, dus covariant. Daarom is de rij-index als bovenindex geschreven en de kolomindex als onderindex. Een natris is dus een tensor van type (1,1).

De elementen van de tensor

T^{i_1,\ldots,i_m}_{i_{m+1},\ldots,i_{m+n}}

van type (m,n), worden dus als volgt getransformeerd:

\hat{T}^{i_1,\ldots,i_m}_{i_{m+1},\ldots,i_{m+n}}= (R^{-1})^{i_1}_{j_1}\cdots(R^{-1})^{i_m}_{j_m} R^{j_{m+1}}_{i_{m+1}}\cdots R^{j_{m+n}}_{i_{m+n}}T^{j_1,\ldots,j_m}_{j_{m+1},\ldots,j_{m+n}}.

Als multilineaire afbeelding[bewerken]

Deze definitie beschouwt een tensor als een multilineaire afbeelding. Een tensor van type (m,n) is een afbeelding:

T: \underbrace{ V^* \times\ldots\times V^*}_{m \text{ kopieën}} \times \underbrace{ V \times\ldots\times V}_{n \text{ kopieën}}\ \to \R

die lineair is in elk van z'n argumenten. Daarbij is V een vectorruimte en V^* de bijbehorende duale vectorruimte.

De tensor T van type (m,n) beeldt een combinatie van elementen van de basis (e_b) van V en elementen van de bijbehorende canonieke duale basis (e^a) van V^* af op:

T^{a_1 \dots a_m}_{b_1 \dots b_n} =T(e^{a_1},\ldots,e^{a_m},e_{b_1},\ldots,e_{b_n}),

een m+n-dimensionale rij coördinaten (vaak ook componenten genoemd) van T.

In de vorm van een tensorproduct[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Tensorproduct voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Tensors worden ingevoerd als elementen van het tensorproduct van twee of meer vectorruimten. Dit tensorproduct wordt voortgebracht door het tensorproduct van de basisvectoren van elk van die ruimten. Als (V_a) de vectorruimten over eenzelfde lichaam (Ned) / veld (Be) K zijn en E_a=\{e_{ai}|a=1,2,\ldots\} bases van deze ruimten zijn, wordt het tensorproduct van de ruimten (V_a) genoteerd als

V_1\otimes V_2\otimes\ldots.

Dit tensorproduct heeft een basis die bestaat uit de tensorproducten van de vectoren uit de bases (E_a):

e_{1i_1}\otimes e_{2i_2}\otimes \ldots

Deze tensorproducten vormen een nieuw soort elementen, die op formele wijze een combinatie zijn van de basisvectoren.

In het bijzonder heeft het n-voudige tensorproduct van V met zichzelf

\otimes_{i=1}^nV=V\otimes\ldots\otimes V\hbox{ (n keer)}

de natuurlijke basis

\{e_{a_1}\otimes\ldots\otimes e_{a_n}|a_i=1,2,\ldots\}

Een n'de orde tensor T uit dit tensorproduct heeft ten opzichte van de natuurlijke basis de componenten

T^{a_1\ldots a_n}e_{a_1}\otimes\ldots\otimes e_{a_n}

Als de vectorruimte V dimensie p heeft, dan zijn er p^n dergelijke componenten, te rangschikken in een n-dimensioniale hyperkubus van getallen.

Analoog worden ook de elementen van de tensorproducten van de duale vectorruimte V^*, tensoren genoemd. Om onderscheid te maken, worden de basisvectoren van V^* meestal met bovenindices genoteerd (zoals boven ook al gedaan), zodat de componenten van een "duale" tensor onderindices krijgen, bijvoorbeeld

T = T_{ab}e^a\otimes e^b

Een tensor van de orde (m,n) is dan een element van het tensorproduct:

\underbrace{V\otimes\ldots\otimes V}_{m \text{ kopieën}} \otimes \underbrace{V^*\otimes\ldots\otimes V^*}_{n \text{ kopieën}}

Identificatie van vectorruimte en duale vectorruimte[bewerken]

Een vectorruimte met een niet-gedegenereerde bilineaire vorm g_{ij}v^iw^j wordt op canonieke wijze geïdentificeerd met zijn eigen duale vectorruimte. Zij v een willekeurige vector van V. Dan is de afbeelding

v^*:V\to\mathbb{R}:w\mapsto g_{ij}v^iw^j

lineair, dus een element van de duale ruimte V^*. De afbeelding

*:V\to V^*:v\mapsto v^*

is een isomorfisme van vectorruimten.

Boven kozen we de basisvectoren \mathbf{e}^j van de duale ruimte zo dat \mathbf{e}^j \mathbf{e}_i = \delta_{ij}, zodat w v = w_i v^i, maar in plaats daarvan kunnen we hier ook \mathbf{e}^j \mathbf{e}_i = g_{ij} kiezen, zodat w v = g_{ij}v^i w^i.

Het omgekeerde isomorfisme van vectorruimten wordt bekomen door de inverse van de matrix (g_{ab})^a_b te berekenen, men noteert hem met bovenindices:

g=g^{ij}e_i\otimes e_j

Het feit dat de matrices (g_{ab})^a_b en (g^{ij})^i_j elkaars inverse zijn, uit zich in de formule

g_{ij}g^{jk}=\delta_i^k

Symmetrie[bewerken]

In sommige gevallen is een tensor symmetrisch of antisymmetrisch. Voor een symmetrische tensor geldt: Tab = Tba. Voor een antisymmetrische tensor geldt Tab = -Tba. In het algemeen is een tensor noch symmetrisch, noch antisymmetrisch.

Elke tensor T heeft een symmetrisch deel S en een antisymmetrisch deel A, bepaald door

  • Sab = 1/2(Tab + Tba )
  • Aab = 1/2(Tab - Tba )

Het symmetrische en antisymmetrische deel van een tensor bevatten samen evenveel informatie als de originele tensor.

Deze regels kunnen uitgebreid worden voor tensoren van willekeurige orde (zie externe links).

Voorbeeld: type (0,0)[bewerken]

Een (0,0)-tensor wordt gegeven door één getal, met de eenheid. Het getal met eenheid is onafhankelijk van het coördinatenstelsel. Het is een scalair in de meest strikte zin, ook strikter dan een lorentzscalair.

Volgens de systematiek om een tensor te beschouwen als een lineaire afbeelding is de tensor een lineaire afbeelding van de verzameling 0-tupels naar de verzameling reële getallen. De verzameling 0-tupels heeft één element; als een tupel wordt gezien als een afbeelding van de indexverzameling naar V, is dit element de lege functie. Een (0,0)-tensor is een afbeelding van de verzameling met dit ene element naar de verzameling reële getallen en wordt dus gegeven door één reëel getal. De afbeelding is "lineair in elk van zijn nul argumenten", niet te verwarren met een afbeelding die lineair is in dit domein gezien als vectorruimte, want dan zou de waarde nul zijn.

Voorbeeld: type (1,0)[bewerken]

Een tensor van type (1,0) is een gewone vector over het lichaam (Ned) / veld (Be) K. Hij heeft één contravariante index (in tensornotatie genoteerd als bovenindex) die p waarden kan aannemen, met p de dimensie van de ruimte. Zo'n tensor wordt voor een gegeven basis dus gegeven door p getallen, kentallen of coördinaten genoemd. De vector wordt veelal opgevat als kolomvector met deze getallen. Voor een coördinatenstelsel met een andere basis kan men de getallen omrekenen met behulp van de vierkante matrix R die bij de basistransformatie hoort:

\hat{v}^i = (R^{-1})^i_j v^j (contravariant omrekenen)

Volgens de systematiek om een tensor te beschouwen als een lineaire afbeelding is de tensor een lineaire afbeelding

T: V^* \to K

Daarbij is V^* de duale vectorruimte behorende bij een vectorruimte V, die uit alle lineaire functionalen op V bestaat, dat wil zeggen de lineaire afbeeldingen naar K.

Als een basis van V^* wordt gekozen wordt de tensor gegeven door p getallen, verkregen door de tensor op de betreffende basisvectoren toe te passen:

T(e^{i})=T^i

Voorbeeld: type (0,1)[bewerken]

Een tensor van type (0,1) is een lineaire functionaal

T: V \to K

Als een basis van V wordt gekozen wordt de tensor gegeven door p getallen, verkregen door de tensor op de basisvectoren toe te passen:

T(e_i)=T_i

Er is dus één covariante index (genoteerd als onderindex) die p waarden kan aannemen, met p de dimensie van de ruimte.

Voorbeeld: type (0,2)[bewerken]

Een tensor van type (0,2) is een bilineaire afbeelding

T:  V \times V \to K

Daarbij is V een vectorruimte.

De tensor T beeldt een combinatie van twee elementen van de basis (e_b) van V af op T_{ij} =T(e_i,e_j)

\hat{T}_{ij}= R^k_i R^l_jT_{kl}

Het tensorproduct V\otimes V heeft een basis die bestaat uit de p^2 tensorproducten e_i\otimes e_j

Een belangrijk voorbeeld van een tensor van dit type is de metrische tensor g.

Tensoranalyse[bewerken]

Met een tensor van een bepaald type kan voor elk ander type een tensor van dat andere type geassocieerd worden, die daar op een vaste manier van afgeleid wordt. Deze verschillende tensoren kunnen in de notatie als component die afhangt van indices geschreven worden met dezelfde letter, want de posities van de indices geven het onderscheid aan. Aangezien een tensor een entiteit is die onafhankelijk is van coördinaten/basisvectoren is het echter vaak handig om deze te beschouwen als afbeelding (zoals boven beschreven). Het onderscheid moet dan op andere wijze worden aangegeven, bijvoorbeeld met verschillende letters. Bij het omzetten van de ene tensor in de andere staan één vaste tensor, de metrische tensor g_{ij}, en zijn inverse g^{ij}, centraal:

  • Indices verlagen: een superscriptindex kan een subscriptindex worden:
A_i=g_{ij}A^j
T_{ac}=g_{ab}T^b_c
  • Indices verhogen: een subscriptindex kan een superscriptindex worden:
A^i=g^{ij}A_j
T^a_c=g^{ab}T_{bc}
  • Contractie of verkleinen van een tensor kan door twee indices gelijk te stellen:
T^a=T^{ac}_c
  • Twee indices verlagen:
T_{\alpha\beta}=g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}T^{\gamma \delta}
  • Twee indices verhogen:
T^{\alpha\beta}=g^{\alpha\gamma}g^{\beta\delta}T_{\gamma \delta}

Merk op dat T^{\alpha\beta} in het algemeen niet de inverse is van T_{\gamma \delta}, dit geldt alleen voor de metrische tensor. Als we bijvoorbeeld T^{\alpha\beta} met twee vermenigvuldigen dan wordt T_{\gamma \delta} ook met twee vermenigvuldigd, niet door twee gedeeld.

Uit T^a_c=g^{ab}T_{bc} volgt g^a_c=g^{ab}g_{bc}=\delta^a_c.

Uitgaande van T_j kunnen we dus construeren T^i=g^{ij}T_k (en omgekeerd), en vervolgens T=T^i T_i

Uitgaande van T_{ij} kunnen we construeren T^i_j=g^{ik}T_{kj} (en omgekeerd), en vervolgens T=T^i_i, bijvoorbeeld g^i_j=g^{ik}g_{kj}=\delta^i_j, en vervolgens g=g^i_i=\delta^i_i=4.

P-tensor[bewerken]

Een voorbeeld van een veel gebruikte tensor in topologische stringtheorie is de P-tensor. Deze heeft de volgende bijzondere eigenschap:

\sqrt{ P^i_k } > P^i_k

De tensor is een symmetrische tensor van de tweede orde, waarbij de componenten tussen nul en een liggen. De P-tensor komt voor bij de beschrijving van het "parameter-landschap" van het standaardmodel.

Notatie[bewerken]

De notatie van tensoren varieert. Misner, Charles W., Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald: Gravitation, Freeman, San Francisco, 1970 en latere uitgaven bevat een overzicht van de verschillende notaties.

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]