Tensor

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Tensor is een begrip uit de lineaire algebra dat veelvuldige toepassingen heeft in de differentiaalmeetkunde en daardoor ook in de materiaalkunde (vervorming van voorwerpen) en de relativiteitstheorie. Voor een behandeling van tensoren in dat kader, zie tensor (relativiteitstheorie). Tensoren kunnen beschouwd worden als een veralgemening van vectoren en matrices.

Definitie[bewerken]

Er zijn verschillende definities van het begrip tensor. Hoewel ze op het eerste gezicht zeer verschillend zijn, beschrijven ze toch hetzelfde meetkundige concept, zij het in verschillende termen en niveaus van abstractie.

Tensoren worden ingedeeld naar type (m,n), met m en n niet-negatieve gehele getallen. In totaal zijn er zo m + n indices, die elk p waarden kunnen aannemen, met p de dimensie van de ruimte. Een tensor van type (m,n) wordt gegeven door p^{m+n} getallen, namelijk één getal voor elke combinatie van indexwaarden.

Afhankelijk van de context wordt met een tensor vaak een entiteit op zichzelf bedoeld, onafhankelijk van het coördinatenstelsel. Als een tensor wordt gegeven door de p^{m+n} getallen moet men er dus bijzeggen voor welk coördinatenstelsel deze gelden. Voor een ander coördinatenstelsel, met toepassing van een basistransformatie van de onderhavige vectorruimte, kan men de getallen omrekenen. De m heeft betrekking op contravariant omrekenen, de n op covariant omrekenen.

Met de term tensor wordt vaak ook bedoeld een tensorveld, dat wil zeggen een tensor afhankelijk van positie of ruimtetijdpositie.

Als meerdimensionale rij[bewerken]

Vectoren in een coördinatenruimte en matrices zijn respectievelijk een- en tweedimensionale getallenrijen. Een tensor T, als een generalisatie van deze begrippen, is een meerdimensionale getallenrij. Voor m+n dimensies wordt het element met indices i_1,\ldots,i_m,i_{m+1},\ldots,i_{m+n} aangegeven door:

T^{i_1,\ldots,i_m}_{i_{m+1},\ldots,i_{m+n}}.

Daarbij wordt onderscheid gemaakt tussen de zogeheten contravariante indices, die als bovenindices genoteerd worden en covariante indices, genoteerd als onderindices. Een dergelijke tensor wordt van het type (m,n) genoemd, met m dus het aantal contravariante indices, en n het aantal covariante.

Noteer voor een matrix A het element in de i 'de rij en j 'de kolom als A_j^i.

Stel we gaan over op nieuwe basisvectoren \mathbf{\hat{e}}_i , gegeven in termen van de oude, \mathbf{e}_j , met

\mathbf{\hat{e}}_i = R^j_i \mathbf{e}_j (in formele matrixnotatie met e en \hat{e} kolommen van vectoren: \hat{e} = R^T e)

De tensor v^i wordt dan

\hat{v}^i = (R^{-1})^i_j v^j (contravariant omrekenen, in matrixnotatie \hat{v} = R^{-1} v)

Voor de bijbehorende basisvectoren \mathbf{e}^j van de duale ruimte geldt \mathbf{e}^j \mathbf{e}_i = \delta_{ij}, zodat w v = w_i v^i, waarbij w v zowel de functietoepassing w(v) als de matrixnotatie van rijvector maal kolomvector is. Dit is dezelfde formule is als van het standaardinproduct, maar dat is hier niet zonder meer van toepassing omdat het verschillende ruimten betreft; wel als we \mathbf{e}^i identificeren met \mathbf{e}_i.

Deze basisvectoren gaan over op \mathbf{\hat{e}}^i , en w^j wordt

\hat{w}_j = R_j^i w_i (covariant omrekenen, in matrixnotatie \hat{w} = w R)

Er geldt dan \hat{w} \hat{v} = w v.

In het algemeen:

\hat{T}^{i_1,\ldots,i_n}_{i_{n+1},\ldots,i_m}= (R^{-1})^{i_1}_{j_1}\cdots(R^{-1})^{i_n}_{j_n} R^{j_{n+1}}_{i_{n+1}}\cdots R^{j_{m}}_{i_{m}}T^{j_1,\ldots,j_n}_{j_{n+1},\ldots,j_m}

Als multilineaire afbeelding[bewerken]

Deze definitie beschouwt een tensor als een multilineaire afbeelding. Een tensor van type (m,n) is een afbeelding:

T: \underbrace{ V^* \times\ldots\times V^*}_{m \text{ kopieën}} \times \underbrace{ V \times\ldots\times V}_{n \text{ kopieën}}\ \to \R

die lineair is in elk van z'n argumenten. Daarbij is V een vectorruimte en V^* de bijbehorende duale vectorruimte.

De tensor T van type (m,n) beeldt een combinatie van elementen van de basis (e_b) van V en elementen van de bijbehorende kanonieke duale basis (e^a) van V^* af op:

T^{a_1 \dots a_m}_{b_1 \dots b_n} =T(e^{a_1},\ldots,e^{a_m},e_{b_1},\ldots,e_{b_n}),

een m+n-dimensionale rij coördinaten (vaak ook componenten genoemd) van T.

In de vorm van een tensorproduct[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Tensorproduct voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Tensors worden ingevoerd als elementen van het tensorproduct van twee of meer vectorruimten. Dit tensorproduct wordt voortgebracht door het tensorproduct van de basisvectoren van elk van die ruimten. Als (V_a) de vectorruimten over eenzelfde lichaam (Ned) / veld (Be) K zijn en E_a=\{e_{ai}|a=1,2,\ldots\} bases van deze ruimten zijn, wordt het tensorproduct van de ruimten (V_a) genoteerd als

V_1\otimes V_2\otimes\ldots.

Dit tensorproduct heeft een basis die bestaat uit de tensorproducten van de vectoren uit de bases (E_a):

e_{1i_1}\otimes e_{2i_2}\otimes \ldots

Deze tensorproducten vormen een nieuw soort elementen, die op formele wijze een combinatie zijn van de basisvectoren.

In het bijzonder heeft het n-voudige tensorproduct van V met zichzelf

\otimes_{i=1}^nV=V\otimes\ldots\otimes V\hbox{ (n keer)}

de natuurlijke basis

\{e_{a_1}\otimes\ldots\otimes e_{a_n}|a_i=1,2,\ldots\}

Een n'de orde tensor T uit dit tensorproduct heeft ten opzichte van de natuurlijke basis de componenten

T^{a_1\ldots a_n}e_{a_1}\otimes\ldots\otimes e_{a_n}

Als de vectorruimte V dimensie p heeft, dan zijn er p^n dergelijke componenten, te rangschikken in een n-dimensioniale hyperkubus van getallen.

Analoog worden ook de elementen van de tensorproducten van de duale vectorruimte V^*, tensoren genoemd. Om onderscheid te maken, worden de basisvectoren van V^* meestal met bovenindices genoteerd (zoals boven ook al gedaan), zodat de componenten van een "duale" tensor onderindices krijgen, bijvoorbeeld

T = T_{ab}e^a\otimes e^b

Covariant en contravariant[bewerken]

Een vectorruimte met een inproduct wordt op canonieke wijze geïdentificeerd met zijn eigen duale vectorruimte. Noteer \langle .,.\rangle voor het inproduct, en zij v een willekeurige vector van V. Dan is de afbeelding

v^*:V\to\mathbb{R}:w\mapsto\langle v,w\rangle

lineair, dus een element van de duale ruimte V^*. De afbeelding

*:V\to V^*:v\mapsto v^*

is een isomorfisme van vectorruimten. In termen van een basis \left\{e_a\right\} van V vormen de \left\{e^a\right\} precies de duale basis van V^*, en voor iedere vector v = \sum_a v^a e_a geldt:

(v^*)_i=\sum_ag_{ia}v^a

Het omgekeerde isomorfisme van vectorruimten wordt bekomen door de inverse van de matrix (g_{ab})^a_b te berekenen, men noteert hem met bovenindices:

g=\sum_i\sum_jg^{ij}e_i\otimes e_j

Het feit dat de matrices (g_{ab})^a_b en (g^{ij})^i_j elkaars inverse zijn, uit zich in de formule

\sum_jg_{ij}g^{jk}=\delta_i^k

waar \delta_i^k de Kronecker-delta is: dit symbool stelt 0 voor als de indices i en k verschillende waarden aannemen, en 1 als de indices i en k gelijk zijn. Met andere woorden: (\delta_i^k)_i^k is de eenheidsmatrix in \mathbb{R}^{n\times n}.

Deze isomorfismen gaan over op n-voudige tensorproducten van V en V^*, zodat we een tensor kunnen uitdrukken in termen van tensorproducten van basisvectoren, of duale basisvectoren, of een mengeling van beiden.

De afspraak is dat een boven-index een coördinaat ten opzichte van een basisvector weergeeft, en een onder-index een coördinaat ten opzichte van de duale basis. De eersten heten contravariante indices, de anderen covariant.

Een (m,n)-tensor is dan een tensor van rang m+n waarvan de componenten worden uitgedrukt ten opzichte van tensorproducten van m gewone basisvectoren en n duale basisvectoren. Zo heeft bijvoorbeeld een (2,1)-tensor componenten in de vorm

T^{ab}_ce_a \otimes e_b \otimes e^c

waarbij \otimes een tensorvermenigvuldiging is. De benamingen "contravariant" voor de indices a,b en "covariant" voor de index c hebben te maken met de manier waarmee de indices transformeren bij overgang naar een ander coördinatenstelsel op een Riemannse variëteit.

Een vector en een scalair zijn speciale gevallen van tensoren, namelijk (1,0)- en (0,0)-tensoren.

Symmetrie[bewerken]

In sommige gevallen is een tensor symmetrisch of antisymmetrisch. Voor een symmetrische tensor geldt: Tab = Tba. Voor een antisymmetrische tensor geldt Tab = -Tba. In het algemeen is een tensor noch symmetrisch, noch antisymmetrisch.

Elke tensor T heeft een symmetrisch deel S en een antisymmetrisch deel A, bepaald door

  • Sab = 1/2(Tab + Tba )
  • Aab = 1/2(Tab - Tba )

Het symmetrische en antisymmetrische deel van een tensor bevatten samen evenveel informatie als de originele tensor.

Deze regels kunnen uitgebreid worden voor tensoren van willekeurige orde (zie externe links).

Voorbeeld: type (1,0)[bewerken]

Een tensor van type (1,0) is een gewone vector over het lichaam (Ned) / veld (Be) K. Hij heeft één contravariante index (in tensornotatie genoteerd als bovenindex) die p waarden kan aannemen, met p de dimensie van de ruimte. Zo'n tensor wordt voor een gegeven basis dus gegeven door p getallen, vaak coördinaten of componenten genoemd. De vector wordt vaak geschreven als kolomvector met deze getallen. Voor een coördinatenstelsel met een andere basis kan men de getallen omrekenen door een vierkante matrix te vermenigvuldigen met de vector:

\hat{v}^i = (R^{-1})^i_j v^j (contravariant omrekenen)

De tensor kan beschouwd worden als een lineaire afbeelding

T: V^* \to K

Daarbij is V^* de duale vectorruimte behorende bij een vectorruimte V, die uit alle lineaire functionalen op V bestaat, dat wil zeggen de lineaire afbeeldingen naar K.

Als een basis van V wordt gekozen worden de bijbehorende p getallen verkregen door de tensor op de basisvectoren toe te passen:

T(e_i)=T^i

Voorbeeld: type (0,1)[bewerken]

Een tensor van type (0,1) is een lineaire functionaal

T: V \to K

Als een basis van V^* wordt gekozen wordt de tensor gegeven door p getallen, verkregen door de tensor op de betreffende basisvectoren toe te passen:

T(e^{i})=T_i

Er is dus één covariante index (genoteerd als onderindex) die p waarden kan aannemen, met p de dimensie van de ruimte.

Voorbeeld: type (0,2)[bewerken]

Een tensor van type (0,2) is een bilineaire afbeelding

T:  V \times V \to K

Daarbij is V een vectorruimte.

De tensor T beeldt een combinatie van twee elementen van de basis (e_b) van V af op T_{ij} =T(e_i,e_j)

Het tensorproduct V\otimes V heeft een basis die bestaat uit de p^2 tensorproducten e_i\otimes e_j

Een belangrijk voorbeeld van een tensor van dit type is de metrische tensor g.

Tensoranalyse[bewerken]

Tensoren kunnen op verschillende manieren bewerkt worden:

  • Indices verlagen: een superscriptindex kan een subscriptindex worden met behulp van de metrische tensor g:
A_i=g_{ij}A^j
T_{ac}=g_{ab}T^b_c
  • Indices verhogen: een subscriptindex kan een superscriptindex worden met de inverse metrische tensor:
A^i=g^{ij}A_j
T^a_c=g^{ab}T_{bc}
  • Contractie of verkleinen van een tensor kan door twee indices gelijk te stellen:
T^a=T^{ac}_c
  • Twee indices verlagen:
T_{\alpha\beta}=g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}T^{\gamma \delta}
  • Twee indices verhogen:
T^{\alpha\beta}=g^{\alpha\gamma}g^{\beta\delta}T_{\gamma \delta}

P-Tensor[bewerken]

Een voorbeeld van een veel gebruikte tensor in topologische string theorie is de P-tensor. Deze heeft de volgende bijzondere eigenschap:

\sqrt{ P^i_k } > P^i_k

De tensor is een symmetrische tensor van de tweede orde, waarbij de componenten tussen nul en één liggen. De P-tensor komt voor bij de beschrijving van het "parameter-landschap" van het standaardmodel.

Notatie[bewerken]

De notatie van tensoren varieert. Misner, Charles W., Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald: Gravitation, Freeman, San Francisco, 1970 en latere uitgaven bevat een overzicht van de verschillende notaties.

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]