Tensor

Een tensor is een begrip uit de lineaire algebra dat veelvuldige toepassingen heeft in de differentiaalmeetkunde en daardoor ook in de materiaalkunde (vervorming van voorwerpen) en de relativiteitstheorie. Voor een behandeling van tensoren in dat kader, zie tensor (relativiteitstheorie).

Definitie

Tensoren kunnen beschouwd worden als een veralgemening van vectoren en matrices. Ten opzichte van een gegeven basis

$\{e_a|a=1,2,\ldots\}$

van een vectorruimte $V$ heeft een vector de componenten $v^ae_a$. In drie dimensies betekent dat dat de component in de richting van de basisvector $e_1$ een grootte $v^1$ heeft, de component in de richting van $e_2$ een grootte $v^2$, en in de richting van $e_3$ grootte $v^3$.

In het (tweevoudig) tensorproduct $V\otimes V$ van de ruimte $V$ met zichzelf vormen de vectoren

$\{e_a\otimes e_b|a,b=1,2,\ldots\}$

op hun beurt een basis. Een tweederangstensor is een element van $V\otimes V$ en heeft, ten opzichte van deze basis, de componenten $T^{ab}$. Als $V$ bijvoorbeeld driedimensionaal is, dan zijn er negen dergelijke componenten, die meestal als een $3\times3$-matrix genoteerd worden.

In het algemeen is een tensor van rang $n$ een element van het $n$-voudige tensorproduct

$\otimes_{i=1}^nV=V\otimes\cdots\otimes V\hbox{ (n keer)}$

en zijn componenten ten opzichte van de natuurlijke basis

$\{e_{a_1}\otimes\cdots\otimes e_{a_n}|a_i=1,2,\ldots\}$

worden genoteerd

$T^{a_1a_2\ldots a_n}$

Als de vectorruimte $V$ dimensie $d$ heeft, dan zijn er $d^n$ dergelijke componenten, te rangschikken in een $n$-dimensioniale hyperkubus van getallen. De letters $a,b,a_1,\ldots,a_n$ heten de indices.

Analoog worden ook de elementen van de tensorproducten van de duale vectorruimte $V^*$, tensoren genoemd. Om het onderscheid te maken, worden de basisvectoren van $V^*$ meestal met bovenindices genoteerd, zodat de componenten van een "duale" tensor onderindices krijgen, bijvoorbeeld

$T = \sum_a\sum_bT_{ab}e^a\otimes e^b$

Metrische tensor

In de meeste toepassingen is de vectorruimte $V$ voorzien van een inproduct, dat wil zeggen een symmetrische positief definiete kwadratische vorm. Zo'n kwadratische vorm is per definitie een bilineaire afbeelding van $V\times V$ naar het scalairenlichaam (voor een reële vectorruimte: $\mathbb{R}$), en kan dus worden opgevat als een element van $V^*\otimes V^*$. Men noemt dit de metrische tensor en noteert hem met de letter $g$. In termen van coördinaten:

$g=\sum_a\sum_bg_{ab}e^a\otimes e^b$

Covariant en contravariant

Een vectorruimte met een inproduct wordt op canonieke wijze geïdentificeerd met zijn eigen duale vectorruimte. Noteer $\langle .,.\rangle$ voor het inproduct, en zij $v$ een willekeurige vector van $V$. Dan is de afbeelding

$v^*:V\to\mathbb{R}:w\mapsto\langle v,w\rangle$

lineair, dus een element van de duale ruimte $V^*$. De afbeelding

$*:V\to V^*:v\mapsto v^*$

is een isomorfisme van vectorruimten. In termen van een basis $\left\{e_a\right\}$ van $V$ vormen de $\left\{e^*_a\right\}$ precies de duale basis van $V^*$, en voor iedere vector $v = \sum_a v^a e_a$ geldt:

$(v^*)_i=\sum_ag_{ia}v^a$

Het omgekeerde isomorfisme van vectorruimten wordt bekomen door de inverse van de matrix $(g_{ab})^a_b$ te berekenen, men noteert hem met bovenindices:

$g=\sum_i\sum_jg^{ij}e_i\otimes e_j$

Het feit dat de matrices $(g_{ab})^a_b$ en $(g^{ij})^i_j$ elkaars inverse zijn, uit zich in de formule

$\sum_jg_{ij}g^{jk}=\delta_i^k$

waar $\delta_i^k$ de Kronecker-delta is: dit symbool stelt 0 voor als de indices $i$ en $k$ verschillende waarden aannemen, en 1 als de indices $i$ en $k$ gelijk zijn. Met andere woorden: $(\delta_i^k)_i^k$ is de eenheidsmatrix in $\mathbb{R}^{n\times n}$.

Deze isomorfismen gaan over op $n$-voudige tensorproducten van $V$ en $V^*$, zodat we een tensor kunnen uitdrukken in termen van tensorproducten van basisvectoren, of duale basisvectoren, of een mengeling van beiden.

De afspraak is dat een boven-index een coördinaat ten opzichte van een basisvector weergeeft, en een onder-index een coördinaat ten opzichte van de duale basis. De eersten heten contravariante indices, de anderen covariant.

Een $(m,n)$-tensor is dan een tensor van rang $m+n$ waarvan de componenten worden uitgedrukt ten opzichte van tensorproducten van $m$ gewone basisvectoren en $n$ duale basisvectoren. Zo heeft bijvoorbeeld een (2,1)-tensor componenten in de vorm

$T^{ab}_ce_a \otimes e_b \otimes e^c$

waarbij $\otimes$ een tensorvermenigvuldiging is. De benamingen "contravariant" voor de indices $a,b$ en "covariant" voor de index $c$ hebben te maken met de manier waarmee de indices transformeren bij overgang naar een ander coördinatenstelsel op een Riemannse variëteit.

Een vector en een scalair zijn speciale gevallen van tensoren, namelijk (1,0)- en (0,0)-tensoren.

Tensoranalyse

Tensoren kunnen op verschillende manieren bewerkt worden:

• Indices verlagen: een superscriptindex kan een subscriptindex worden met behulp van de metrische tensor, g_ab: T_ac=g_abT^b_c
• Indices verhogen: een subscriptindex kan een superscriptindex worden met de inverse metrische tensor, g^ab: T^a_c=g^abT_bc
• Een tensor verkleinen kan door twee indices gelijk te stellen: T^a = T^ac_c

Symmetrie

In sommige gevallen is een tensor symmetrisch of antisymmetrisch. Voor een symmetrische tensor geldt: T_ab = T_ba. Voor een antisymmetrische tensor geldt T_ab = -T_ba. In het algemeen is een tensor noch symmetrisch, noch antisymmetrisch.

Elke tensor T heeft een symmetrisch deel S en een antisymmetrisch deel A, bepaald door

• S_ab = 1/2(T_ab + T_ba )
• A_ab = 1/2(T_ab - T_ba )

Het symmetrische en antisymmetrische deel van een tensor bevatten samen evenveel informatie als de originele tensor.

Deze regels kunnen uitgebreid worden voor tensoren van willekeurige orde (zie externe links).

P-Tensor

Een voorbeeld van een veel gebruikte tensor in topologische string theorie is de P-tensor. Deze heeft de volgende bijzondere eigenschap:

$\sqrt{ P^i_k } > P^i_k$

De tensor is een symmetrische tensor van de tweede orde, waarbij de componenten tussen nul en één liggen. De P-tensor komt voor bij de beschrijving van het "parameter-landschap" van het standaardmodel.

Notatie

De notatie van tensoren varieert. Misner, Charles W., Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald: Gravitation, Freeman, San Francisco, 1970 en latere uitgaven bevat een overzicht van de verschillende notaties.

Zie ook

• Tensoren in de algemene relativiteitstheorie
• Symmetrische tensor
• Antisymmetrische tensor

Externe link

• Mathworld: Tensor