Tensoralgebra

In de abstracte algebra, een onderdeel van de wiskunde, is de tensoralgebra (synoniem: vrije algebra) een wiskundige structuur die een gegeven vectorruimte zodanig uitbreidt, dat de resulterende verzameling gesloten is onder het tensorproduct.

Definitie

Zij V een vectorruimte over een (commutatief) lichaam K. De tensoralgebra over V is de K-vectorruimte gedefinieerd door de oneindige directe som van vectorruimten

$T(V)=\oplus_{n=0}^\infty\otimes^n V$

waar $\otimes^n V$ het $n$-voudige tensorproduct van V met zichzelf is (in het bijzonder is $\otimes^0 V$ gelijk aan $K$ zelf, opgevat als K-vectorruimte). Op de tensoralgebra bestaat een unieke bilineaire afbeelding

$\otimes:T(V)\times T(V)\to T(V)$

die associatief is en die voor gewone vectoren samenvalt met het bekende tensorproduct.

Deze definitie kan zonder meer worden veralgemeend tot de situatie waarbij K slechts een commutatieve ring is (meestal wordt het bestaan van een eenheidselement geëist), en V een K-moduul.

$T(V)$ is een associatieve algebra. Hij is niet noodzakelijk commutatief. Als de ring K een eenheidselement heeft (dus zeker als K een lichaam is), dan heeft $T(V)$ een eenheidselement.

Verwante begrippen

De uitwendige algebra over V is de oneindige directe som van alle antisymmetrische tensorproducten van V met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van $T(V)$ over het (tweezijdige) ideaal dat wordt voortgebracht door elementen van de vorm $u\otimes v+v\otimes u$.

De symmetrische algebra over V is de oneindige directe som van alle symmetrische tensorproducten van V met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van $T(V)$ over het ideaal dat wordt voortgebracht door elementen van de vorm $u\otimes v-v\otimes u$.