Tetratie

Tetratie is de operatie van het herhaald machtsverheffen. Tetratie is een rekenkundige bewerking van de vierde orde en kan in termen van machtsverheffen als volgt worden gedefinieerd:

$a\uparrow\uparrow b:={}^ba:=\left.a^{a^{.^{.^{.^a}}}}\right\}b=\underbrace{a\uparrow a\uparrow\cdots\uparrow a}_b$

De eerste notatie wordt ook wel de Knuths pijlomhoognotatie genoemd, terwijl de tweede onder de noemer Ruckers notatie te boek staat. Bij de Rucker notatie dient er zorg voor gedragen te worden dat er geen verwarring ontstaat bij uitdrukkingen van de vorm $a^bc$. In de meeste gevallen geldt namelijk dat $\left(a^b\right)c\neq a\left({}^bc\right)$.

Deze notatie wordt in andere talen ook wel de toren van machten of machtentoren genoemd.

Voorbeeld

Na de som, product en machtsverheffen is de tetratie de vierde bewerking die deze reeks voorzet. Met tetratie wordt een opvolging van machten benoemd, bijvoorbeeld:

$\,\!\ ^{4}2 = 2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{16} = 65.536$

Tetreren levert al snel gigantische getallen op. Zo heeft ³5 reeds 2185 cijfers en ³8 bevat er meer dan 15 miljoen.

Een bijzondere tetratie

We construeren eerst een bijzondere functie die we aan verdere analyse zullen onderwerpen:

$f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto\lim_{n\rightarrow\infty}{^nx}$

Hierin is A de verzameling van reële limietpunten van f. Tot slot definiëren we de Lambert-W functie $W(x)$ impliciet als de inverse functie van $w\mapsto we^w$, zodat $v=we^w\leftrightarrow w=W(v)$.

Een andere uitdrukking voor f

We willen de limiet in f nu expliciet evalueren. Hiertoe merken we op dat

$y=\lim_{n\rightarrow\infty}{^nx}=\lim_{n\rightarrow\infty}{^{n+1}x}=x^y$

$x=\sqrt[y]{y}=y^\frac{1}{y}$

$\log{x}=\frac{\log{y}}{y}$

$y\log{x}=-\log{\frac{1}{y}}$

$e^{-y\log{x}}=\frac{1}{y}$

$-\log{x}=-y\log{(x)}e^{-y\log{x}}$

$-y\log{x}=W\left(-\log{x}\right)$

$y=\frac{W\left(-\log{x}\right)}{-\log{x}}$

Hieruit volgt dat

$f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto-\frac{W\left(-\log{x}\right)}{\log{x}}$

Het domein en beeld van f

We merken allereerst op dat voor $x<0$ het niet zo hoeft te zijn dat $f(x)\in\mathbb{R}$. Uit $y=\sqrt[x]{x}$ uit de vorige sectie volgt dat het domein van f wordt beperkt door het beeld van $x\mapsto\sqrt[x]{x}$ onder $\mathbb{R}$. Zij nu

$g:\left[0,\infty\right[\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto\sqrt[x]{x}$

een functie. We weten nu uit de vorige sectie dat g de inverse van f is. Om de karakteristieken van f te vinden is het dus voldoende om g te onderzoeken. We bepalen eerst het maximum van het beeld van g om A vast te leggen.

$0=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt[x]{x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{\log{\sqrt[x]{x}}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{\frac{\log{x}}{x}}=\sqrt[x]{x}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\log{x}}{x^2}\right)=x^{\frac{1}{x}-2}\left(1-\log{x}\right)$

We merken op dat $g'(0)$ niet gedefinieerd is, maar dat $\lim_{x\rightarrow0}{g(x)}=0$ een minimum is op de rand van het domein van g. Verder merken we op dat $\lim_{x\rightarrow\infty}{g(x)}=1$ en dus dat $\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{\sqrt[x]{x}}{x^2}}=0$ op grond van de productregel. De enige voorwaarden waarvoor geldt dat $\frac{\sqrt[x]{x}}{x^2}=0$ is dat $x\rightarrow0$ of $x\rightarrow\infty$, maar deze punten zitten niet in het domein van g en gelden dus niet als extreme waarden.

Dit moet betekenen dat als g een extreme waarde heeft in x, dat dan $1-\log{x}=0\Rightarrow x=e$. g heeft een maximum bij e. Hieruit volgt dat $g(e)=\sqrt[e]{e}$ en dus zal het domein van f worden gegeven door $A=\left]0,\sqrt[e]{e}\right]$.

Om de waarde van f in $\sqrt[e]{e}$ te bepalen merken we op dat f en g elkaars inverse zijn op het domein van f. En dus zal $f\left(\sqrt[e]{e}\right)=e$.

De afgeleide van f

Om de afgeleide van f te bepalen gebruiken we de uitdrukking uit de tweede sectie.

$y=x^y$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^y$

$y'=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{y\log{x}}$

$y'=x^y\left(y'\log{x}+\frac{y}{x}\right)$

$y'\left(1-x^y\log{x}\right)=x^y\frac{y}{x}$

$y'=\frac{yx^y}{x\left(1-x^y\log{x}\right)}$

$f'(x)=\frac{f(x)\cdot x^{f(x)}}{x-x^{f(x)+1}\log{x}}$

Het uitwerken van deze laatste uitdrukking geeft dat

$f'(x)=\frac{e^{-2W\left(-\log{x}\right)}}{x+xW\left(-\log{x}\right)}$

De primitieve van f

We zullen in deze sectie proberen om de primitieve van f te bepalen. Hiertoe kijken we eerst goed naar de volgende plot van f en g.

We zien nu dat de oppervlakte onder f op $[0,1]$ impliciet berekend kan worden met $1-\int_0^1g(x)\mathrm{d}x$. In het algemeen geldt dat

$\forall a\in\left]0,\sqrt[e]{e}\right]:\int_0^af(x)\mathrm{d}x=af(a)-\int_0^{f(a)}g(x)\mathrm{d}x$

$\forall a<b\in\left[0,\sqrt[e]{e}\right]:\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\int_0^bf(x)\mathrm{d}x-\int_0^af(x)\mathrm{d}x$

$=af(a)-bf(b)-\int_0^{f(a)}g(x)\mathrm{d}x+\int_0^{f(b)}g(x)\mathrm{d}x$

$=af(a)-bf(b)+\int_{f(a)}^{f(b)}g(x)\mathrm{d}x$

Hiermee verplaatsen we het probleem van integratie naar de functie g. Het blijkt dat ook g niet expliciet te integreren is, al kunnen we wèl partiële integratie toepassen op de volgende convergente Taylorreeks.

$\sqrt[x]{x}=e^{\frac{\log{x}}{x}}=\sum_{n=0}^\infty{\frac{\log^n{x}}{x^n\cdot n!}}$

In dit stadium van de berekening dienen we al op te merken dat $\forall n\in\mathbb{N}:\lim_{x\downarrow 0}{\frac{\log^n{x}}{x}}=-\infty$. Dit zal ons straks problemen op gaan leveren bij de bepaling van $\int_0^1g(x)\mathrm{d}x$. Voor nu zullen we verder gaan met het bepalen van de volgende integraal

$\int{\frac{\log^n{x}}{x^n}\mathrm{d}x}=\frac{\log^n{x}}{(1-n)x^{n-1}}-\frac{n}{1-n}\int{\frac{\log^{n-1}{x}}{x^n}\mathrm{d}x}$

$\int{\frac{\log^0x}{x^n}\mathrm{d}x}=\int{\frac{1}{x^n}\mathrm{d}x}=\frac{1}{(1-n)x^{n-1}}$

$\int{\frac{\log^n{x}}{x^n}\mathrm{d}x}=\sum_{k=0}^n{\frac{\log^{n-k}{x}}{(1-n)x^{n-1}}\cdot\frac{n!}{(n-k)!}\cdot\frac{1}{(1-n)^k}}$

$=\frac{n!}{(1-n)}\sum_{k=0}^n{\frac{\log^{n-k}{x}}{(1-n)^k\cdot x^{n-1}}}$

Hieruit volgt nu dat

$\int{\sqrt[x]{x}\mathrm{d}x}=\int{\sum_{n=0}^\infty{\frac{\log^n{x}}{x^n\cdot n!}}\cdot \mathrm{d}x}$

$=\sum_{n=0}^\infty{\int\frac{\log^n{x}}{x^n\cdot n!}\mathrm{d}x}$

$=\sum_{n=0}^\infty{\frac{1}{n!}\cdot \frac{n!}{(1-n)}\sum_{k=0}^n{\frac{\log^{n-k}{x}}{(1-n)^k\cdot x^{n-1}}}}$

$=\sum_{n=0}^\infty{\sum_{k=0}^n{\frac{\log^{n-k}{x}}{(1-n)^{k+1}\cdot x^{n-1}}}}$

Ofschoon de waarde van $\int_0^1{f(x)\mathrm{d}x}$ niet in radicalen valt uit te schrijven is er met behulp van bovenstaande formules wèl een benadering mogelijk. We zien nu dat:

$\int_0^1{f(x)\mathrm{d}x}=1-\int_0^1g(x)\mathrm{d}x\approx 1-0,\!353497=0,\!646503$

De visualisatie van f

Hieronder volgt een grafische visualisatie van f, $f'$ en $F(x)=\int_0^xf(y)\mathrm{d}y$.

Zie ook

• Knuths pijlomhoognotatie
• Ruckers notatie

Externe links

• (en) MathWorld: Pijlnotatie
• (en) MathWorld: Power Tower