Tijddilatatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Speciale relativiteitstheorie
{E}\,  = m\, c^2
(de massa-energierelatie)

Tijddilatatie, tijdsdilatatie of tijdsrek (dilatatie = uitrekking) betreft verschijnselen waarbij volgens een waarnemer de tijd van een andere waarnemer trager verloopt. Men kan onderscheiden tijddilatatie in verband met beweging, en die in verband met gravitatie: gravitationele tijdsdilatatie.

Tijddilatatie in verband met beweging is het verschijnsel dat volgens een stilstaande waarnemer de tijd van een bewegende waarnemer trager verloopt. Het effect is uiterst gering bij alledaagse snelheden, maar wordt merkbaar als de snelheid de lichtsnelheid nadert. Een veel aangehaald voorbeeld om de consistentie van dit effect aan te tonen, is de tweelingparadox. Tijddilatatie wordt verklaard door de speciale relativiteitstheorie en kan eenvoudig afgeleid worden uit het gedachte-experiment met de Lorentzklok.

Afleiding van de formule[bewerken]

Volgens een waarnemer die bij de klok stilstaat gaat de lichtflits op en neer in een tijd 2L/c.
Volgens een waarnemer die naar links beweegt, moet het licht een langere weg afleggen met dezelfde snelheid c, dus het kost meer tijd > 2L/c.

Tijdsdilatatie volgt uit de waarneming dat de lichtsnelheid voor alle waarnemers gelijk is. [1] [2] [3] [4]

Doordat de lichtsnelheid \!c altijd dezelfde blijkt te zijn, tellen snelheden van voorwerpen en licht niet op. Dus als een lichtbron op ons afkomt, is de lichtsnelheid niet groter dan als de bron van ons af beweegt of stil staat. Dit heeft gevolgen voor de tijd- en lengtemeting (tijddilatatie en lengtecontractie).

Beschouw een klok die bestaat uit twee spiegels A en B, waartussen een lichtflits op en neer gaat. De tussenafstand is \!L, en de klok tikt telkens als een spiegel, zeg A, bereikt wordt.

In het stelsel waarin de klok in rust is, legt de lichtflits een afstand van \!2L af. Dit kost een tijdsinterval van

\Delta t = \frac{2 L}{c}

Maar vanuit het gezichtspunt (stelsel) van een waarnemer die met snelheid \!v naar links beweegt (diagram rechtsonder), legt de lichtflits een langere weg \!2D af. Omdat de lichtsnelheid constant bleek voor alle waarnemers kost de route tussen de spiegels nu meer tijd, dus de klok loopt volgens de bewegende waarnemer langzamer.

De totale tijd op en neer tussen de spiegels wordt:

\Delta t' = \frac{2 D}{c}.

Tijdens de op- en neergaande beweging van het licht is de waarnemer horizontaal over een afstand \!v \Delta t' opgeschoven. Het licht beweegt op en neer langs de lange, schuine zijden van twee rechthoekige driehoeken met andere zijden \frac{1}{2}v \Delta t' en \!L. De lengte van de halve weg wordt met de stelling van Pythagoras

D = \sqrt{\left (\frac{1}{2}v \Delta t'\right )^2+L^2}.

\!D invullen geeft na omwerken en worteltrekken voor \Delta t':

\Delta t' = \frac{2L/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

waaruit met definitie van \Delta t = \frac{2 L}{c} volgt dat

\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

Omdat \!v kleiner is dan \!c en daardoor \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} groter is dan 1, wordt \Delta t' groter dan \Delta t. Een bewegende waarnemer ziet de klok langzamer lopen. Voorbeeld: een stilstaand muon (elementair deeltje) valt in \Delta t = 2,20 * 10^{-6} seconden uit elkaar. Als je met een bewegend muon meereist, meet je deze zelfde vervaltijd. Maar als je op aarde staat en de muonen met een snelheid v = 0,994 c de dampkring invallen, duurt het volgens jou 9x langer (\Delta t') voor ze uit elkaar vallen (zie ook Experimentele verificatie hieronder):

\Delta t' = \frac{\Delta t} {\sqrt{1-v^2/c^2}} =
\frac{\Delta t} {\sqrt{1-0{,}994^2}} =
\frac{\Delta t}{\sqrt{0{,}01196}} =
{\Delta t} / {0{,}1094} =
9{,}14 \Delta t

Grootte van het effect[bewerken]

De tijdsdilatatie kan rechtstreeks worden afgeleid uit de formules voor de Lorentztransformatie. Uit de Lorentztransformatie volgt voor de relatie tussen de tijdsduur t die, volgens de waarnemer, door het bewegende object ervaren wordt en de tijdsduur t0 die de waarnemer ervaart:

\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}}={\gamma}{\Delta}{t_0}

Daarin is

\gamma=\frac 1{\sqrt{1-v^2/c^2}}

de Lorentz-factor. Omdat 0 < v^2 < c^2, is de Lorentzfactor groter dan 1. Hieruit volgt:

t<t_0\,,

dus de tijd t van het bewegende object verloopt trager dan de tijd t0 van de waarnemer. Om het onderscheid te maken met de tijd gemeten door stilstaande waarnemers, noemt men t ook wel de eigentijd van de bewegende waarnemer.

Bij snelheden in wat gemakshalve het dagelijks leven (onder aardse omstandigheden) genoemd kan worden, is dit effect zeer klein. Het kan dan alleen met de nauwkeurigste klokken gemeten worden. In de buurt van de lichtsnelheid wordt het echter zeer groot. Als de lichtsnelheid bereikt zou worden, zou de tijd van het object volgens de waarnemer stilstaan. Voor een object (met een zekere massa) is dat echter onmogelijk, omdat het oneindig veel energie zou vergen.

Wederkerigheid[bewerken]

Het lijkt er op dat de tijddilatatie hiermee een objectieve methode geeft om te bepalen welke waarnemer stilstaat en welke beweegt: de waarnemer wiens klok het snelst loopt, staat stil. Dit is echter niet het geval; de relativiteitstheorie gaat er juist vanuit dat alle snelheden (behalve de lichtsnelheid c) relatief zijn. Dus terwijl de eerste waarnemer ervan overtuigd is dat de klok van de tweede te traag loopt, vindt de tweede waarnemer datzelfde van de klok van de eerste.

Dit klinkt onmogelijk, maar het kan wel, doordat ook het begrip gelijktijdigheid relatief is. Volgens de eerstgenoemde waarnemer is bijvoorbeeld het moment dat zijn klok 1 uur aangeeft, gelijktijdig met het moment dat de klok van de ander een half uur aangeeft – de ander zou dus vertraagde tijd hebben. Maar volgens de ander was dat moment, waarop zijn klok een half uur aangaf, juist gelijktijdig met het moment waarop de klok van de eerste een kwartier aangaf – dus díe had vertraagde tijd. Wie van de twee "gelijk" heeft is op geen enkele manier na te gaan, want de genoemde klok-aflezingen gebeuren op verschillende plaatsen. Ook met licht- of radiosignalen is het niet objectief vast te stellen, want die signalen doen ook enige tijd over het afleggen van de afstand, en ook over die tijdsduur zouden de waarnemers het niet eens worden.

Ter illustratie van de tijddilatatie heeft Albert Einstein de tweelingparadox bedacht, een gedachte-experiment waarbij twee waarnemers van elkaar denken dat de tijd van de ander vertraagd is.

Experimentele verificatie[bewerken]

Tijddilatatie is meer dan een theoretische constructie. Men heeft experimenteel aangetoond dat het effect echt bestaat:

  • In de hogere atmosfeer worden door botsing tussen kosmische straling en de atmosferische deeltjes muonen gevormd. Die deeltjes zijn zeer instabiel en vervallen bijna onmiddellijk: ze hebben een halfwaardetijd van \tau = 2,20 * 10^{-6} seconden. Zelfs met een snelheid die de lichtsnelheid benadert, zouden ze niet lang genoeg bestaan om bij de aardbodem te komen. Toch kunnen daar veel muonen gemeten worden. Dat komt doordat deze muonen zo snel gaan dat de tijd voor hen trager gaat en ze dus in hun eigen "tijdservaring" lang genoeg overleven om een grotere afstand te kunnen overbruggen dan men op grond van de halfwaardetijd (en dus levensverwachting) verwacht.
    Met andere woorden: een 'eigen' seconde (eigentijd) van een muon dat beweegt tegen de lichtsnelheid verloopt voor een stilstaande waarnemer trager dan een seconde die deze waarnemer 'op het eigen horloge' ervaart. De eerder genoemde halfwaardetijd is dan ook uitgedrukt in seconden voor een stilstaande waarnemer, maar wordt in feite in de beleving van de stilstaande waarnemer uitgerekt (de tijddilatatie) door de snelheid die het deeltje heeft.
    Een dergelijk gedocumenteerd experiment werd in 1941 uitgevoerd door de natuurkundigen D. Hall en Bruno Rossi, op twee verschillende hoogtelokaties bij Mount Washington in het noordoosten van de Verenigde Staten (hoogteverschil bijna 2000m). In 1963 werd dit experiment herhaald door de Amerikanen David H. Frisch en James H. Smith die hun werk op film vastlegden.
    Op de website hyperphysics staat een dergelijke berekening met een vergelijking van de waarnemingen in de stelsels van het inval en de waarnemer op aarde.[5]
  • Op aarde kan dit effect met een deeltjesversneller waargenomen worden; elementaire deeltjes kunnen met behulp van elektrische velden gemakkelijk tot dichtbij de lichtsnelheid versneld worden.
  • Men heeft snelle vliegtuigen uitgerust met zeer nauwkeurige atoomklokken. Na een reis rond de aarde bleken de klokken iets minder tijdsduur gemeten te hebben dan klokken die op aarde waren gebleven.

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Understanding Physics. Springer-Verlag New York, Inc (2002), Chapter 9 §9.6, p. 422
  2. Astronomy, A Physical Perspective. Cambridge University Press (2003), Chapter 7 §7.2, p. 128
  3. Physics for Scientists and Engineers, Volume 2. Jones and Bertlett Publishers, Inc (1996), Chapter 38 §38.4, p. 1051,1052
  4. , Flat and Curved Space-times, Second Edition, Oxford University Press Inc, New York, 2000 ISBN 0-19-850657-0., Chapter 3 §1.3, p. 28-29
  5. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/muon.html Muonen leven langer dankzij hun enorme snelheid en kunnen daardoor het aardoppervlak halen