Toestel van Atwood

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Toestel van Atwood: een katrol met twee gewichten

Het Toestel van Atwood werd in 1784 uitgevonden door de Engelse dominee en wiskundige George Atwood als laboratoriumproef om de eenparig versnelde beweging te onderzoeken. Het toestel van Atwood is een standaard demonstratieproef voor mechanica in de natuurkundeles.

Het volmaakte toestel van Atwood bestaat uit twee voorwerpen (gewichten) met massa m1 en m2, verbonden door een onveerkrachtig (inelastisch) touw over een ideale massa- en wrijvingsloze katrol. [1]

Als m_1 = m_2\! verkeert het toestel in evenwicht, onverschillig hoe hoog de gewichten hangen.

Als m_2 > m_1\! (of omgekeerd) worden beide gewichten eenparig versneld.

Eenparige versnelling[bewerken]

In het ideale geval spelen alleen de spankracht (T) en de beide massa's (m) een rol. Om de som van de krachten \sum F te vinden bekijken we de krachten op iedere massa afzonderlijk.

Krachten op m1 : T-m_1g\!

Krachten op m2 : m_2g-T\!

Samen: \sum F=(m_2g-T)+(T-m_1g)=g(m_2-m_1)\!

Met Newtons Tweede Wet vinden we een uitdrukking voor de versnelling van het stelsel van gewichten en touw.

\sum F=ma\!, dus
a={\sum F \over m}\!. We hadden al
\sum F=g(m_2-m_1)\!
\;m=m_1+m_2\! is de totale massa, zodat
a = g{m_2-m_1 \over m_1+m_2}\!

Omgekeerd kan de valversnelling g gevonden worden door de tijdsduur t van de beweging van de gewichten op te schrijven en de eenparige versnelling a te berekenen uit de afgelegde weg d:

 d = {1 \over 2} at^2 .

Soms wordt het toestel van Atwood gebruikt als voorbeeld hoe men met de Lagrangiaan bewegingsvergelijkingen kan vinden. [2]

Spankracht[bewerken]

De spankracht T in het touw wordt als volgt gevonden uit de bovenstaande vergelijking voor beide massa's.

a = g{m_2-m_1 \over m_1+m_2}\!

Voorbeeld: door substitutie in m_1a = T-m_1g\! krijgen we

T=g{2m_1m_2\over m_1+m_2}\!

Een andere afleiding van de spankracht maakt gebruik van m_2a = m_2g-T\!

Realistische katrol[bewerken]

Als de massa's m1 en m2 weinig verschillen, kan het traagheidsmoment I van de katrol met straal r niet worden verwaarloosd. De hoekversnelling is dan

 \alpha = {a\over r}\!

Het totale moment \tau\! voor het stelsel wordt:

\tau_{Total}=\left(T_2 - T_1 \right)r = I \alpha + \tau_{wrijving}\!

met T1 en T2 de spankrachten van het touw aan de kanten van respectievelijk m1 en m2.

Praktische toepassing[bewerken]

In Atwoods oorspronkelijke tekeningen rustte de as van de hoofdkatrol op de omtrek van vier andere wielen om de wrijving van de lagers zo klein mogelijk te houden. Vele historische vormen van het toestel van Atwood passen dit ontwerp toe.

Een lift met contragewicht benadert het ideale toestel van Atwood, zodat de motor alleen de verschillen in gewicht en traagheid tussen kooi en contragewicht moet overwinnen. Ook kabelbanen passen dit beginsel toe.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]

Verwijzingen[bewerken]

  1. Tipler, Paul A., Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version, Worth Publishers, New York, 1991 ISBN 0-87901-432-6. Chapter 6, example 6-13, pag. 160.
  2. Goldstein, Herbert, Classical Mechanics, second Edition, Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition, New Delhi, 1980 ISBN 81-85015-53-8. Section 1-6, example 2, pages 26-27.