Topologische ruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Vier voorbeelden en twee niet-voorbeelden van topologieën op de drie-punten-verzameling {1,2,3}. Het voorbeeld linksonder is geen topologie, omdat de vereniging (2,3) van (2) en (3) ontbreekt; het voorbeeld rechtsonder is geen topologie, omdat de doorsnede {2} van {1,2} en {2,3} ontbreekt.

Een topologische ruimte is een verzameling met een zodanige structuur dat er continue afbeeldingen (functies) op kunnen worden gedefinieerd. De tak van de wiskunde die zich bezighoudt met topologische ruimten en continue afbeeldingen daartussen, is de topologie.

Definitie[bewerken]

Een topologische ruimte is een verzameling X samen met een collectie \mathcal{T} van deelverzamelingen van X, open verzamelingen genoemd, die aan de volgende axioma's voldoen:

  1. \varnothing (de lege verzameling) en X zijn open.
  2. De vereniging van willekeurig veel open verzamelingen is open.
  3. De doorsnede van twee open verzamelingen is open.

Een dergelijke collectie open verzamelingen wordt een topologie op X genoemd. Het koppel (X,\mathcal{T}) wordt dan een topologische ruimte genoemd. Een gesloten verzameling is een verzameling waarvan het complement open is.

Voorbeelden[bewerken]

Voorbeelden van topologische ruimten zijn:

  • Een willekeurige metrische ruimte X, waarbij O bestaat uit de deelverzamelingen S van X waarvan elk punt een inwendig punt is, dat wil zeggen dat er voor alle x in S een ε > 0 bestaat zodanig dat elk punt van X dat een afstand kleiner dan ε tot x heeft zelf ook weer in S ligt (Voor willekeurige topologische ruimten geldt trouwens dat een verzameling open is dan en slechts dan als elk punt ervan een inwendig punt van die verzameling is).
  • Precies dezelfde constructie blijft opgaan voor een pseudometrische ruimte.
  • Een willekeurige verzameling X met als open verzamelingen alleen \emptyset en X. De topologie die alleen uit deze twee verzamelingen bestaat, heet de triviale topologie.
  • Een willekeurige verzameling X met als open verzamelingen alle deelverzamelingen van X. Ruimten met deze topologie heten discrete topologische ruimten; een eindige deelverzameling van Rn is een voorbeeld van een discrete ruimte.
  • Een willekeurige verzameling X met als open verzamelingen de lege verzameling, plus alle verzamelingen waarvan het complement eindig is. Dit heet de cofiniete topologie. Als X zelf een eindige verzameling is, dan is de cofiniete topologie dezelfde als de discrete topologie.
  • Zij R een commutatieve ring en Spec(R) het spectrum van R (dit is de verzameling priemidealen van R). Spec(R) is dan een topologische ruimte met als gesloten verzamelingen de verzamelingen van de vorm
\{P\in\operatorname{Spec}(R)\mid P\supset I\} met I een ideaal van R. Deze topologische ruimte is compact, en de zojuist gedefinieerde topologie heet de Zariski-topologie.

Alternatieve karakteriseringen[bewerken]

De topologische structuur van X kan ook worden vastgelegd door een van de volgende elementen te specificeren:

  1. welke delen van X zijn gesloten verzamelingen
  2. wat is de afsluiting van elk deel van X
  3. wat is het inwendige van elk deel van X

Basis[bewerken]

Een basis voor een topologische ruimte is een collectie open verzamelingen van X met de eigenschap dat iedere andere open verzameling van X geschreven kan worden als een vereniging van elementen van de basis. Topologische ruimten zijn eenvoudiger te bestuderen als ze beschikken over een basis met een beperkt aantal elementen (bijvoorbeeld aftelbaar), zelfs als de collectie van alle open verzamelingen veel groter is.

De metrische ruimte R^n (met de gewone Euclidische afstandsfunctie) heeft overaftelbaar veel open verzamelingen, maar er bestaan aftelbare basissen - bijvoorbeeld: de open bollen met rationale straal en rationale coördinaten van het middelpunt.

Categorieën van topologische ruimten[bewerken]

Men onderscheidt bijzondere categorieën van topologische ruimten met betrekking tot de mogelijkheid om punten en verzamelingen onderling te scheiden door open verzamelingen. In oplopende volgorde van strengheid bepalen de verschillende scheidingsaxioma's, tussen haakjes vermeld, de volgende ruimten:

Men kan ruimten ook indelen naargelang van het bestaan van bases met een "klein" aantal open verzamelingen: de aftelbaarheidsaxioma's

A_1 \! en A_2 \!.

Andere eigenschappen die een ruimte 'hanteerbaarder' maken zijn: compactheid en separabiliteit.