Topologische variëteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een topologische variëteit een topologische ruimte (kan ook een Hausdorff-ruimte zijn), die er lokaal uitziet als een Euclidische ruimte. Topologische variëteiten vormen een belangrijke klasse van topologische ruimten met toepassingen door de gehele wiskunde.

Met het woord variëteit kan men een topologische variëteit bedoelen, maar vaker gaat het over een topologische variëteit tezamen met een aanvullend aan deze topologische variëteit opgelegde structuur. Differentieerbare variëteiten, bijvoorbeeld, zijn topologische variëteiten uitgerust met een differentieerbare structuur. Elke variëteit heeft een onderliggende topologische variëteit, die simpelweg wordt verkregen door de extra structuur weg te laten. In dit artikel wordt een overzicht van het variëteitsconcept gegeven. Dit artikel richt zich puur op de topologische aspecten van variëteiten.

Formele definitie[bewerken]

Een topologische ruimte X wordt lokaal Euclidisch genoemd als er een niet-negatief geheel getal n bestaat, zodat elk punt in X een omgeving heeft die homeomorf is met betrekking tot de Euclidische ruimte Rn.

Een topologische variëteit is een lokaal Euclidische Hausdorff-ruimte. Het is gebruikelijk om aanvullende eisen op te leggen aan topologische variëteiten. Vele auteurs definiëren topologische variëteiten als paracompact of voldoend aan het tweede axioma van telbaarheid.

Met een n-variëteit wordt een topologische variëteit bedoeld zodat elk punt een omgeving heeft die homeomorf is met betrekking tot Rn. Een niet-triviale stelling zegt dat voor elke variëteit X er een uniek geheel getal n bestaat zodat X een n-variëteit is. Dit gehele getal wordt de dimensie van X genoemd.

Voorbeelden[bewerken]

  • De n-dimensionale sfeer Sn is een compacte n-variëteit.
  • De n-dimensionale torus Tn (het product van n cirkels) is een compacte n-variëteit.

Eigenschappen[bewerken]

De eigenschap van het lokaal Euclidisch zijn wordt bewaard door lokale homeomorfismen. Dat wil zeggen dat als X lokaal Euclidisch van dimensie n is en f : XY een lokaal homeomorfisme is, dat dan Y lokaal Euclidisch van dimensie n is. In het bijzonder is lokaal Euclidisch zijn een topologische eigenschap.

Variëteiten erven veel van de lokale eigenschappen van de Euclidische ruimte. In het bijzonder zijn zij lokaal compact, lokaal samenhangend, eerst-aftelbaar, lokaal samentrekbaar en lokaal metriseerbaar. Aangezien topologische variëteiten lokaal compacte Hausdorff-ruimten zijn, zijn variëteiten noodzakelijkerwijs ook Tychonov-ruimten.

Een variëteit hoeft niet samenhangend te zijn, maar elke variëteit M is een disjuncte vereniging van samenhangende variëteiten. Dit zijn slechts de samenhangende componenten van M, die open verzamelingen zijn, aangezien variëteiten lokaal samenhangend zijn. Aangezien variëteiten lokaal padsamenhangend zijn, is een variëteit dan en slechts dan pad-samenhangend als hij ook samenhangend is. Hieruit volgt dat de pad-componenten dezelfde zijn als de componenten.

Het Hausdorff-axioma[bewerken]

De Hausdorff-eigenschap is niet lokaal, dus zelfs hoewel de Euclidische ruimte Hausdorff is, hoeft een lokaal Euclidische ruimte geen Hausdorff-ruimte te zijn. Het is echter waar dat elke lokaal Euclidische ruimte tevens een T1-ruimte is.

Een voorbeeld van een niet-Hausdorff lokaal Euclidische ruimte is de lijn met twee oorsprongen. Deze ruimte wordt gecreëerd door de oorsprong van de reële lijn te vervangen door twee punten, waarvan een open omgeving van elk van deze beide punten alle niet-nulzijnde getallen in enig open interval gecentreerd op nul bevat. Deze ruimte is geen Hausdorff-ruimte, omdat de twee oorsprongen niet kunnen worden gescheiden.

Dimensionaliteit[bewerken]

De dimensie van een variëteit is een topologische eigenschap, wat betekent dat elke variëteit die homeomorf is aan een n-variëteit een dimensie n heeft. Uit det invariantie van domein volgt dat een n-variëteit niet homeomorf kan zijn aan een m-variëteit voor nm.

Een 1-dimensionale variëteit wordt vaak een kromme genoemd, terwijl een 2-dimensionale variëteit een oppervlak wordt genoemd. Hogere dimensionale variëteiten worden meestal n-variëteiten genoemd. Voor n= 3, 4 of 5 zie respectievelijk 3-variëteit, 4-variëteit en 5-variëteit.

Classificatie van variëteiten[bewerken]

Een 0-variëteit is gewoon een discrete ruimte. Zulke ruimten worden geclassificeerd op hun kardinaliteit. Elke discrete ruimte is paracompact. Een discrete ruimte is dan en slechts dan tweedst-aftelbaar als deze aftelbaar is.

Elke paracompacte, samenhangende 1-variëteit is homeomorf ofwel met R ofwel met de cirkel. De niet-samenhangende zijn gewoon disjuncte verenigingen van deze.

Zie ook[bewerken]