Uitdrukking (wiskunde)

In de wiskunde en informatica is een uitdrukking of expressie een taalfragment dat een waarde representeert. Een uitdrukking geeft een welgevormde combinatie of logische co-existentie van wiskundige symbolen weer.

Zo is bijvoorbeeld

$2x + 4 = 0\,$

een uitdrukking, terwijl

$\frac{)x)}{0}$

dit niet is, aangezien de haakjes niet zijn uitgebalanceerd (er staat geen enkel haakje naar links en twee haakjes naar rechts) en delen door nul niet gedefinieerd is.

Niet ieder grammaticaal welgevormd taalfragment is een expressie. Gegeven de functie

ƒ : N → N

ƒ : x $\mapsto$ x + 7

is het fragment

ƒ(-3)

grammaticaal welgevormd, maar desondanks geen uitdrukking. ƒ is immers niet gedefinieerd op het getal -3 en ƒ(-3) representeert daardoor geen waarde.

Als er variabelen in het taalfragment voorkomen dan is het fragment een uitdrukking indien hij een waarde representeert wanneer alle variabelen gebonden zijn. "a+b" is een uitdrukking omdat dit taalfragment een waarde representeert wanneer voor a en b getallen ingevuld worden.

Een uitdrukking is een syntactisch concept – de betekenis van variabelen is niet irrelevant, maar verschillende deelgebieden van de wiskunde hebben verschillende noties van wat wel en niet is toegestaan (validiteit). Zie het artikel over formele taal voor een beschrijving hoe uitdrukkingen worden geconstrueerd en het artikel over formele semantica voor de betekenis daarvan.

Types uitdrukkingen

• Rekenkundige uitdrukkingen:

$4 + 3 \,$

• Algebraïsche uitdrukkingen:

• • Veeltermen:

$4x^5 - \frac{6x^4}{11} - x^3\sqrt{2} + x^2 + \frac{x}{7} - \frac{13}{6}$

• • Vergelijkingen:

$y=\frac{x}{2}+13$

• • Rationale uitdrukkingen:

$y=\frac{x^2+5x-3}{x-2}$

• • Exponentiële uitdrukkingen:

$y=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+4}$

• • Goniometrische uitdrukkingen:

$y = \frac{\sin2\alpha}{\cot3\alpha}+\cos^2\alpha$

• Imaginaire of complexe uitdrukkingen:

$i^2 = -1 \,$

• Transcendente uitdrukkingen:

$y \cdot e^y + x = 0 \,$

Manipuleren van uitdrukkingen

Zie ook: Formeel systeem

Net zoals uitdrukkingen worden gevormd volgens zekere regels (regels die in de diverse deelgebieden van de wiskunde kunnen verschillen), kan men vaak, volgens vastgestelde regels, een nieuwe vorm aan een uitdrukking geven, soms zijn deze regels zeer algemeen, soms specifiek en alleen toepasbaar in een specifiek deelgebied van de wiskunde. Bijvoorbeeld de uitdrukking:

$x^2 + 3x - 4\,$

wordt beschouwd als gelijk aan, en in zekere zin als hetzelfde, als de uitdrukking

$(x + 4)(x - 1)\,$.

Variabelen

Veel verschillende uitdrukkingen bevatten letters. Deze letters worden variabelen genoemd. Variabelen kunnen worden onderverdeeld in twee hoofdgroepen. Men onderscheidt de vrije variabele en de gebonden variabele.

Voor een gegeven combinatie van waarden voor de vrije variabelen kan een uitdrukking worden geëvalueerd, dit hoewel de waarde van de uitdrukking voor sommige combinaties van vrije variabelen ongedefinieerd kan zijn. Een uitdrukking representeert een functie, waarvan de inputs de waarden zijn die aan de vrije variabelen zijn toegekend en waarvan de output de resulterende waarde van de uitdrukking is.

Bijvoorbeeld de uitdrukking

$\frac{x}{y}$

geëvalueerd voor x = 10, y = 5, zal 2 geven; maar is ongedefinieerd voor y = 0 (delen door 0 is niet gedefinieerd).

De evaluatie van een uitdrukking hangt af van de definitie van de wiskundige operatoren op het waardesysteem dat in de definitie van deze operator ligt besloten. Zie formele semantica en formeel interpretationisme voor de studie van vragen in de logica.

Van twee uitdrukkingen zegt men deze equivalent (gelijk) zijn als voor elke combinatie van waarden van de vrije variabelen, beide uitdrukkingen hetzelfde resultaat teruggeven, waardoor zij in feite dezelfde functie representeren.

De uitdrukking:

$\sum_{n=1}^{3} 2nx$

heeft bijvoorbeeld een vrije variabele 'x, een gebonden variabele n, drie constanten 1, 2, en 3, en twee voorkomens van een impliciete vermenigvuldigings-operator en van een impliciete sommatie operator. De uitdrukking is equivalent aan de simpelere uitdrukking 12x. De waarde voor x=3 is 36.

Welgevormdheid van een wiskundige uitdrukking

Een wiskundige uitdrukking moet welgevormd zijn. Dat wil zeggen dat de operatoren op de juiste plaatsen een juist aantal inputs moeten hebben gekregen. De volgende uitdrukking:

$\frac{1}{2} + 3^2$

is welgevormd, terwijl de uitdrukking

$\frac{1-}{\times2} +^3$

dit niet is, tenminste niet in de gebruikelijke notatie van de rekenkunde.

Lambdacalculus

Uitdrukkingen en hun evaluatie zijn in de jaren dertig van de twintigste eeuw door Alonzo Church en Stephen Kleene geformaliseerd in hun lambdacalculus. Deze lambdacalculus is de laatste tachtig jaar van grote invloed geweest op de ontwikkeling van de moderne wiskunde en computertalen. Eén van de interessantste resultaten is de ontdekking dat de equivalentie van twee uitdrukkingen in de lambdacalculus in sommige gevallen onbeslisbaar is. Dit geldt voor enige uitdrukking in enig systeem dat een kracht heeft die vergelijkbaar is met de lambdacalculus.

Zie ook

• Uitdrukking (programmeren)
• Vergelijking (wiskunde)