Uniek factorisatiedomein

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte algebra, een onderdeel van de wiskunde, is een uniek factorisatiedomein, UFD, een commutatieve ring, waarin elk element dat geen nul is en geen eenheid op een unieke manier kan worden geschreven als een product van priemelementen, op dezelfde manier dat de gehele getallen in priemgetallen kunnen worden ontbonden.

Merk op dat een unieke factorisatiedomein voorkomt in de onderstaande keten van deelverzamelingen:

Ieder hoofdideaaldomein is een uniek factorisatiedomein maar het omgekeerde is niet waar.

Definitie[bewerken]

Wanneer bijvoorbeeld

x = p1 p2 ... pn

is deze weergave in de volgende zin uniek: als q1,...,qm niet-reduceerbare elementen van R zijn, zodanig dat

x = q1 q2 ... qm,

dan geldt m = n en bestaat er een bijectieve afbeelding φ : {1,...,n} → {1,...,m}, zodanig dat ieder element pi overeenkomt met een element qφ(i), met i = 1, ..., n.

Het unieke deel is meestal moeilijk te verifiëren.

De volgende gelijkwaardige definitie is bruikbaar: een uniek factorisatiedomein is een integriteitsdomein R, waarin ieder element van R, dat geen nul is en geen eenheid van R is, kan worden geschreven als een product van priemelementen van R.