Unitaire matrix

In de lineaire algebra is een unitaire matrix een n bij n complexe matrix, wat wil zeggen dat de elementen van de matrix behoren tot de verzameling van de complexe getallen.

Een matrix is unitair als geldt dat

$U^* U = UU^* = I_n\,$

In deze formule is $U$ een complexe matrix, $U^*$ de hermitisch toegevoegde matrix van $U$ en $I_n$ de eenheidsmatrix.

Merk op dat deze voorwaarde inhoudt dat een matrix U unitair is dan en slechts dan als hij een inverse heeft, die gelijk is aan zijn geconjugeerde getransponeerde matrix $U^* \,$

$U^{-1} = U^* \,\;$

Een unitaire matrix waarin alle elementen reëel zijn is altijd een orthogonale matrix. De orthogonale matrix G bewaart het (reële) inwendig product van twee reële vectoren,

$\langle Gx, Gy \rangle = \langle x, y \rangle$

zo kan men ook stellen dat een unitaire matrix U dus voldoet aan

$\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle$

voor alle complexe vectoren x and y, waar $\langle.,.\rangle$ voor het standaard inwendig product op Cⁿ staat. Als $U \,$ een n bij n matrix is dan gelden de onderataande equivalentcondities:

1. $U \,$ is unitair
2. $U^* \,$ is unitair
3. De kolommen van $U \,$ vormen een orthonormale basis van Cⁿ met respect tot dit inwendig product
4. De rijen van $U \,$ vormen een orthonormale basis van Cⁿ met respect tot dit inwendig product
5. $U \,$ is een isometrie met respect tot de norm van dit inwendig product.

Uit deze isometrie eigenschap volgt dat alle eigenwaarden van een unitaire matrix zijn complexe getallen met een absolute waarde die gelijk is aan 1 (dat wil zeggen dat de elementen op de eenheidscirkel liggen, die gecentreerd is in de oorsprong (0) van het complexe vlak). Hetzelfde is waar voor de determinant.

Alle unitaire matrices zijn normaal, waardoor de spectraalstelling op de unitaire matrices van toepassing is. Elke unitaire matrix U heeft dus een decompositie van de vorm

$U = V\Sigma V^*\;$

waar V unitair is, en $\Sigma$ diagonaal en unitair is.

Voor elke n vormt de verzameling van alle n bij n unitaire matrices, die zijn uitgerust met de operatie matrixvermenigvuldiging, een groep.

Bij uitbreiding kan men ook unitaire operatoren definiëren op een Hilbertruimte. Een belangrijke eigenschap van unitaire operatoren en matrices is dat zij als operator op een vector de norm van die vector niet veranderen:

$\| U x \| = \| x \|$

Eigenschappen van unitaire matrices

• $U$ is inverteerbaar
• $U^{-1}=U^*$
• |det($U$)| = 1
• $U^*$ is unitair
• Unitaire matrices bewaren norm (lengte) $\|Ux\|_2=\|x\|_2$

Zie ook

• Hermitische matrix
• Symplectische matrix
• Unitaire groep
• Speciale unitaire groep
• Unitaire operator
• Matrixdecompositie