Unitaire matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra is een unitaire matrix een complexe vierkante matrix U waarvoor geldt dat

U^* U = UU^* = I

Daarin is U^* de hermitisch toegevoegde matrix van U en I de eenheidsmatrix.

Merk op dat deze voorwaarde inhoudt dat een matrix U unitair is dan en slechts dan als hij een inverse heeft die gelijk is aan haar geconjugeerde getransponeerde matrix U^*

U^{-1} = U^*

Een unitaire matrix waarvan alle elementen reëel zijn, is een orthogonale matrix. Evenals een orthogonale matrix bewaart ook unitaire matrix U het inwendig product, immers voor U van de orde n en \langle\cdot,\cdot\rangle het standaard inwendig product op \C^n is:

\langle Ux, Uy \rangle =\langle x, U^*Uy \rangle = \langle x, y \rangle

voor alle complexe vectoren x en y. Verder zijn de volgende voorwaarden equivalent:

  1. U is unitair
  2. U^* is unitair
  3. De kolommen van U vormen een orthonormale basis van \C^n met respect tot dit inwendig product
  4. De rijen van U vormen een orthonormale basis van \C^n met respect tot dit inwendig product
  5. U is een isometrie met respect tot de norm van dit inwendig product.

Eigenwaarden[bewerken]

Uit de eigenschap van isometrie volgt dat alle eigenwaarden van een unitaire matrix complexe getallen zijn met absolute waarde gelijk aan 1. De eigenwaarden liggen dus op de eenheidscirkelin het complexe vlak. Voor de eigenwaarde \lambda met bijbehorende eigenvector x geldt namelijk:

\|x\|_2=\|\lambda x\|_2=|\lambda|\cdot\|x\|_2,

dus

|\lambda|=1.

De reële eigenwaarden van een unitaire matrix kunnen dus alleen de getallen +1 en –1 zijn. Aangezien de complexe eigenwaarden in paren geconjugeerde waarden voorkomen, heeft een unitaire matrix van oneven orde ten minste een reële eigenwaarde +1 of –1.

Determinant[bewerken]

Evenals de eigenwaarden heeft ook de determinant van een unitaire matrix de absolute waarde 1, want:

|\det(U)|^2=\det(U) \cdot \overline{\det(U)} = \det(U) \cdot \det(\overline{U}) =
\det(U) \cdot \det((U^*)^\top)=
= \det(U)\cdot \det(U^*)= \det(U U^*) = \det(I) = 1.

Normaliteit en diagonaliseerbaarheid[bewerken]

Alle unitaire matrices zijn normaal, waardoor de spectraalstelling op de unitaire matrices van toepassing is. Elke unitaire matrix U heeft dus een decompositie van de vorm

U = V\Sigma V^*

waarin V unitair is, en \Sigma diagonaal en unitair is.

Unitaire groep[bewerken]

Voor elke n vormt de verzameling van alle unitaire matrices van orde n, uitgerust met de operatie matrixvermenigvuldiging, een groep, de unitaire groep.

Generalisatie[bewerken]

Bij uitbreiding kan men ook unitaire operatoren definiëren op een Hilbertruimte. Een belangrijke eigenschap van unitaire operatoren en matrices is dat zij als operator op een vector de norm van die vector niet veranderen:

\| U x \| = \| x \|.

Zie ook[bewerken]