Vectorpotentiaal (wiskunde)

In de vectorcalculus bedoelt men met vectorpotentiaal een vectorveld waarvan de rotor (in Nederland: rotatie, Engels curl) gelijk is aan een gegeven veld. Meer precies: indien men over een vectorveld $v$ beschikt, en dit bovendien kan schrijven als

$\vec{v} = \nabla \times \vec{A}$

met $\vec{A}$ een ander vectorveld, en $\nabla\times$ de rotor, dan noemen we $\vec{A}$ een vectorpotentiaal van $\vec{v}$. Een gevolg hiervan is dat het oorspronkelijke vectorveld noodzakelijk divergentievrij is. Inderdaad:

$\nabla\cdot \vec{v}=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$

aangezien de divergentie van de rotor altijd nul oplevert.

Men kan zich afvragen of ook het omgekeerde waar is: kan elk divergentievrij vectorveld afgeleid worden van een vectorpotentiaal? Dit blijkt (onder een aantal voorwaarden op het vectorveld en zijn domein) inderdaad op te gaan.

IJkvrijheid

De vectorpotentiaal overeenkomend met een divergentievrij vectorveld is niet uniek. Inderdaad, als $A$ een vectorpotentiaal is voor het veld $v$, dan voldoet ook

$\mathbf{A} + \nabla m$

(met $m$ een continu differentieerbare functie) aan

$v=\nabla \times \vec{A}$

Een gevolg van deze vrijheid is de zogeheten ijkinvariantie in de natuurkunde. Dit is een fenomeen dat men terugvindt in de elektrodynamica, en dat ook aan de basis ligt van het formuleren van de huidige theorie van deeltjesfysica, het Standaardmodel.

Zie ook

• Divergentievrij vectorveld
• Magnetische vectorpotentiaal