Vectorprojectie

De vectorprojectie van 2 vectoren, $\mathbf{a}$ in de richting van $\mathbf{b}$ (ook wel de projectie van "$\mathbf{a}$ op $\mathbf{b}$"), is gegeven door:

$(\mathbf{a}\cdot\mathbf{\hat b})\mathbf{\hat b}\text{ of }(|\mathbf{a}|\cos\theta)\mathbf{\hat b}$

Hierbij is $\theta$ de hoek tussen de vectoren $\mathbf{b}$ en $\mathbf{a}$, en waarbij $\hat{\mathbf{b}}$ de eenheidsvector is van $\mathbf{b}$.

De vectorprojectie wordt een vector. De projectie van $\mathbf{a}$ op $\mathbf{b}$ heeft dezelfde RC als vector $\mathbf{a}$.

Projectie $\mathbf{a}$ op $\mathbf{b}$ minus $\mathbf{b}$ zal een vector opleveren die loodrecht op vector $\mathbf{a}$ staat.

Vectorprojectie overzicht

De vectorprojectie van $A$ op $B$, met lengte $|C| = |A| \cos \theta$

Als $A$ en $B$ vectoren zijn, dan is de projectie ($C$) van $A$ op $B$ de vector met dezelfde helling als vector $B$ met een lengte van:

$|C| = |A| \cos \theta\,$

Om $C$ te berekenen wordt gebruikgemaakt van het inproduct: $A \cdot B = |A| \, |B| \cos \theta \,$

Gebruik makend van de hierboven gegeven vergelijking:

$|C| = |A| \cos \theta\,$

Dit vermenigvuldigen en delen door ${|B|} {|B|}$ geeft:

$|C| = \frac {|A| |B| \cos \theta} {|B| }\,$

Hierbij is de teller te vervangen door het inproduct:

$|C| = \frac {A \cdot B} {|B| }\,$

Om de lengte van de vector $|C|$ te vinden bij een onbekende $\theta$, en een onbekende richting, moet het geheel vermedigvuldigd worden met de eenheidsvector van $B$:

$C = \frac {A \cdot B} {|B| } \frac {B} {|B|} = \frac {A \cdot B} {|B|^2} B,$

Dit geeft de uiteindelijke formule:

$C = \frac {A \cdot B} {|B|^2} B.$

Gebruik

De vectorprojectie is een belangrijke toepassing in de Gram-Schmidtmethode, vectorruimte en Basis (lineaire algebra).

Zie ook

• Lineaire algebra
• Rijvector
• Kolomvector