Veeltermring

In de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een veeltermring de verzameling van veeltermen in een of meer veranderlijken met coëfficiënten in een ring.

De veeltermring R[X]

Zij R een ring. Een veelterm (of polynoom) met coëfficiënten in R is een uitdrukking

$\sum_{i=0}^\infty a_iX^i = a_0 + a_1X + a_2X^2 + ... , \quad a_i \in R ,$

waarin slechts eindig veel coëfficiënten $a_i$ ongelijk zijn aan 0.

Men duidt zo'n veelterm vaak met een letter als $\scriptstyle f$ of als $\scriptstyle f(X)$. De graad van een polynoom is de grootste n waarvoor geldt dat a_n ≠ 0. Een veelterm van de graad n met coëfficiënt a_n=1 heet monisch (of moniek).

De verzameling R[X] van alle veeltermen over R kan worden voorzien van een optelling en een vermenigvuldiging. Deze bewerkingen definiëren een ringstructuur op R[X].

Formeel worden deze twee bewerkingen gedefinieerd door de volgende formules,

$\sum_{i=0}^\infty a_i X^i + \sum_{i=0}^\infty b_iX^i=\sum_{i=0}^\infty (a_i+b_i)X^i$

en

$\left(\sum_{i=0}^\infty a_iX^i\right)\left(\sum_{j=0}^\infty b_jX^j\right)=\sum_{k=0}^\infty \left(\sum_{i +j =k}a_ib_j\right)X^k.$

Als R een commutatieve ring is, dan is R[X] zelfs een algebra over R.

Eigenschappen

• Als R een veld is, dan is R[X] zelfs een Euclidisch domein en dus een hoofdideaaldomein.
• Als R een uniek factorisatiedomein is, dan is is R[X₁, ..., X_n] dat ook.
• Als R een integriteitsdomein is, dan is R[X₁, ..., X_n] dat ook.
• Als R Noethers is, dan is R[X₁, ..., X_n] dat ook. Dit is de beroemde basisstelling van Hilbert.
• Elke commutatieve ring die tegelijkertijd een eindig voortgebrachte algebra over een veld is, kan worden geschreven als een quotiënt van een veeltermring door een ideaal ervan.