Veeltermring

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een veeltermring de verzameling van veeltermen in een of meer veranderlijken met coëfficiënten in een ring.

De veeltermring R[X][bewerken]

Zij R een ring. Een veelterm (of polynoom) met coëfficiënten in R is een uitdrukking

\sum_{i=0}^\infty a_iX^i = a_0 + a_1X + a_2X^2 + ... ,   \quad a_i \in R ,

waarin slechts eindig veel coëfficiënten a_i ongelijk zijn aan 0.

Men duidt zo'n veelterm vaak met een letter als \scriptstyle f of als \scriptstyle f(X). De graad van een polynoom is de grootste n waarvoor geldt dat an ≠ 0. Een veelterm van de graad n met coëfficiënt an=1 heet monisch (of moniek).

De verzameling R[X] van alle veeltermen over R kan worden voorzien van een optelling en een vermenigvuldiging. Deze bewerkingen definiëren een ringstructuur op R[X].

Formeel worden deze twee bewerkingen gedefinieerd door de volgende formule,

\sum_{i=0}^\infty a_i X^i + \sum_{i=0}^\infty b_iX^i=\sum_{i=0}^\infty (a_i+b_i)X^i

en

\left(\sum_{i=0}^\infty a_iX^i\right)\left(\sum_{j=0}^\infty  b_jX^j\right)=\sum_{k=0}^\infty \left(\sum_{i +j =k}a_ib_j\right)X^k.

Als R een commutatieve ring is, dan is R[X] dat ook, en een algebra over R.

Eigenschappen[bewerken]