In de verzamelingenleer is de vereniging of unie van een collectie verzamelingen de verzameling die bestaat uit alle elementen van de samenstellende verzamelingen. Zo bestaat de vereniging van de verzamelingen
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
De vereniging
A
∪
B
{\displaystyle A\cup B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
∪
B
=
{
x
∣
x
∈
A
of
x
∈
B
}
{\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A{\text{ of }}x\in B\}}
De doorsnede en het verschil van twee verzamelingen worden op een overeenkomende manier gedefinieerd.
Zij
A
=
{
1
,
2
,
6
,
10
,
12
}
{\displaystyle A=\{1,2,6,10,12\}}
B
=
{
1
,
2
,
5
,
8
}
,
{\displaystyle B=\{1,2,5,8\},}
A
∪
B
=
{
1
,
2
,
5
,
6
,
8
,
10
,
12
}
.
{\displaystyle A\cup B=\{1,2,5,6,8,10,12\}.}
A
∪
(
B
∪
C
)
=
(
A
∪
B
)
∪
C
=
A
∪
B
∪
C
{\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C=A\cup B\cup C}
en
A
∪
B
=
B
∪
A
{\displaystyle A\cup B=B\cup A}
A
∪
(
B
∩
C
)
=
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
B
)
{\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cap B)\cup (A\cap B)}
en omgekeerd is de doorsnede distributief over de vereniging:
A
∩
(
B
∪
C
)
=
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
B
)
{\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cup B)\cap (A\cup B)}
Veronderstel dat er een verzameling
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
deelverzameling van zijn.
B
⊆
A
{\displaystyle B\subseteq A\quad }
C
⊆
A
{\displaystyle \quad C\subseteq A}
Definieer het relatieve complement van een deelverzameling van
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
∖
B
{\displaystyle A\setminus B}
Dan zijn
B
∪
C
=
A
∖
(
(
A
∖
B
)
∩
(
A
∖
C
)
)
{\displaystyle B\cup C=A\setminus \left(\left(A\setminus B\right)\cap \left(A\setminus C\right)\right)\quad }
B
∩
C
=
A
∖
(
(
A
∖
B
)
∪
(
A
∖
C
)
)
{\displaystyle \quad B\cap C=A\setminus \left(\left(A\setminus B\right)\cup \left(A\setminus C\right)\right)}
Deze twee eigenschappen komen met de wetten van De Morgan overeen uit de wiskundige logica.
x
∈
⋃
i
∈
I
V
i
⇔
∃
i
∈
I
x
∈
V
i
{\displaystyle x\in \bigcup _{i\in I}V_{i}\ \Leftrightarrow \ \exists i\in I\ \ x\in V_{i}\quad }
I
{\displaystyle I}
indexverzameling is.Het aantal elementen in de vereniging
⋃
i
=
1
n
V
i
{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}V_{i}}
n
{\displaystyle n}
V
i
{\displaystyle V_{i}}
|
⋃
i
=
1
n
V
i
|
=
∑
i
=
1
n
|
V
i
|
−
∑
i
<
j
n
|
V
i
∩
V
j
|
+
∑
i
<
j
<
k
n
|
V
i
∩
V
j
∩
V
k
|
−
⋯
±
(
−
1
)
n
+
1
|
V
1
∩
⋯
∩
V
n
|
{\displaystyle |\ \bigcup _{i=1}^{n}V_{i}\ |\ =\ \sum _{i=1}^{n}|\ V_{i}\ |\ -\ \sum _{i<j}^{n}|\ V_{i}\cap V_{j}\ |\ +\ \sum _{i<j<k}^{n}|\ V_{i}\cap V_{j}\ \cap V_{k}\ |\ -\ \cdots \ \pm (-1)^{n+1}\ |\ V_{1}\cap \cdots \ \cap \ V_{n}\ |}
Zij
X
{\displaystyle X}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
X
.
{\displaystyle X.}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
oneindig of zelfs overaftelbaar veel verschillende deelverzamelingen van
X
{\displaystyle X}
De vereniging van
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
X
{\displaystyle X}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
In het bijzonder is de vereniging van een lege familie dus leeg.
De veronderstelling van het bestaan van de universumverzameling
X
{\displaystyle X}
paradoxen te vermijden. De vereniging van een willekeurige familie verzamelingen is binnen de axiomatische verzamelingenleer niet gedefinieerd.
