Vergelijking (wiskunde)

Oudst bekende vergelijking, door Robert Recorde, in moderne typografie staat er 14x + 15 = 71.

Een vergelijking in de wiskunde is een betrekking waarin twee uitdrukkingen, waarin een of meer onbekende variabelen, met elkaar worden vergeleken, dat wil zeggen aan elkaar gelijk worden gesteld. Vergelijkingen worden altijd geschreven met een gelijkheidsteken, (=), zoals in de vergelijking

$2x + 3 = 5\,$

waarin de uitdrukking $2x + 3\,$ , met daarin de onbekende x, gelijkgesteld wordt aan de uitdrukking 5.

De onbekende grootheden worden traditioneel meestal aangeduid met letters die aan het einde van het alfabet voorkomen, zoals x, y en z. Letters die in het begin van het alfabet voorkomen, bijvoorbeeld a, b en c, gebruikt men om de coëfficiënten weer te geven.

Algebraïsche vergelijkingen

Volgens de hoofdstelling van de algebra heeft elke complexe algebraïsche vergelijking van graad 1 of hoger met één onbekende minstens één complexe oplossing. Reële vergelijkingen hebben niet noodzakelijk een reële oplossing, al hebben alle reële algebraïsche vergelijkingen van oneven graad wel minstens één reële oplossing. Het maximale aantal oplossingen is gelijk aan de graad van de vergelijking.

In het algemeen noemt men een lichaam (in België: veld) K algebraïsch gesloten als elke algebraïsche vergelijking van graad 1 of hoger met coëfficiënten in K, minstens één oplossing heeft in K.

Indeling van de algebraïsche vergelijkingen

Algebraïsche vergelijkingen worden ingedeeld naar de hoogste macht van de voorkomende onbekende(n). Deze macht noemt men de graad van de (algebraïsche) vergelijking. In hun algemene vorm zien ze er als volgt uit:

• lineaire vergelijking (1e graad)

$\! ax + b = 0$

• vierkantsvergelijking (2e graad)

$\! ax^2 + bx + c = 0$ (zie verder bij parabool).

• derdegraadsvergelijking (3e graad)

$\! ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

• vierdegraadsvergelijking (4e graad)

$\! ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$

• vijfdegraadsvergelijking (5e graad)

$\! ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0 \,$

Deze lijst kan analoog worden verder gezet met vergelijkingen van een hogere graad. Algemeen heet

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0= 0 \,$, met $a_n \neq 0$

een n-de-graadsvergelijking.

Voorbeelden

Een van de eenvoudigste (algebraïsche) vergelijking is de lineaire met 1 als coëfficiënt van x: $x = a \,$

Dit betekent dat x dezelfde waarde heeft als a. Deze vergelijking is natuurlijk volledig equivalent met: $x - a = 0 \,$.

Een speciaal type vergelijking is de logaritmische vergelijking:

${}^{3}\!\log(2x-4)+7 = {}^{4}\!\log(9x)\,$

Het volgende voorbeeld is een vergelijking waarin goniometrische functies worden gebruikt:

$\sin(3x)=\cos^2(x) - 1\!$

Hogere-graadsvergelijkingen

Bij hogere-graadsvergelijking bleven wiskundigen zich het hoofd breken over de algemene oplossing van de vijfdegraadsvergelijking, totdat Niels Henrik Abel bewees dat een dergelijke oplossing niet in algebraïsche vorm (aan de hand van optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling en worteltrekking) bestaat. Moderne bewijzen van de stelling van Abel worden meestal gegeven aan de hand van Galoistheorie.

De stelling van Abel is niet in tegenspraak met de hoofdstelling van de algebra. Een complexe vijfdegraadsveelterm heeft altijd nulpunten, maar die zijn niet altijd in een algebraïsche formule met worteltrekking te vatten. Het eenvoudigste voorbeeld is

$\, x^5 + x + 1 = 0$.

Oplossing van vergelijkingen

Zie Oplossen van vergelijkingen voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een vergelijking heeft een oplossing, als er een (toegelaten) waarde van de onbekende is waarvoor de vergelijking bij invulling in een gelijkheid overgaat. Zo heeft de vergelijking x - 2 = 4 als oplossing x = 6.

Niet alle vergelijkingen hebben echter een oplossing. De vergelijking

$\frac{x - 3}{2x - 6}= 1$

bijvoorbeeld heeft geen oplossing, omdat geen enkele waarde van x de vergelijking tot een gelijkheid maakt. Daarentegen heeft de vergelijking

$x^2=4 \,$

twee oplossingen, namelijk x=2 en x=-2, en de (triviale) vergelijking

$x = x \,$

heeft zelfs oneindig veel oplossingen.

Stelsels vergelijkingen

Naast enkelvoudige vergelijkingen bestaan er stelsels van vergelijkingen, bijvoorbeeld twee vergelijkingen met twee onbekenden. Ook voor deze vergelijkingen en het stelsel in het geheel geldt dat ze soms wel, soms niet oplosbaar zijn.

zie ook:

• stelsel van lineaire vergelijkingen

Externe links

• Microcursus formules herschrijven / Vergelijkingen oplossen voor beginners