Vergelijking van Clairaut

De vergelijking van Clairaut is een differentiaalvergelijking van de gedaante

$y(x) \, = \, x \, \frac{dy}{dx}\, + \,f\left(\frac{dy}{dx}\right)$

De oplossing bestaat uit een oneindig grote verzameling rechten, plus één speciale oplossing, de singuliere oplossing, waarvan de grafiek de rechten van de algemene oplossing omhult. Deze vergelijking is genoemd naar de Parijse wiskundige Alexis-Claude Clairaut (1713-1765).

Oplossing

Om de oplossingsmethode te bekomen wordt de vergelijking eerst nog eens afgeleid naar x:

$\frac{dy}{dx} \, = \, \frac{dy}{dx} \, +\, x\, \frac{d^2 y}{dx^2}\, +\, f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{d^2 y}{dx^2},$

zodat

$0 \,= \, \left(x\, +\,f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\right)\frac{d^2 y}{dx^2}.$

Dit betekent dat ofwel:

$\frac{d^2 y}{dx^2} \, = \, 0$

ofwel

$x\, +\, f'\left(\frac{dy}{dx}\right) \, = \, 0$

Eerste factor gelijk aan nul

In het eerste geval staat er een tweede afgeleide die nul. Dit stemt overeen met een eerste afgeleide die constant is:

$\frac{dy}{dx} \, = \, C$

Als dit in de vergelijking van Clairaut wordt ingevuld bekomt men een familie rechten:

$y\, = \, C\, x\, +\, f(C),\,$

Dit is de algemene oplossing van de vergelijking van Clairaut.

Tweede factor gelijk aan nul

$0 \, = \, x \, + \, f'\left(\frac{dy}{dx}\right),$

Dit bepaalt één oplossing y(x), de singuliere oplossing, wiens grafiek de omhullende is van de algemene oplossing. Deze kan concreet gevonden worden door C te elimineren uit de vergelijkingen:

$y \,= C \, x \, + \, f(C) \quad ; \quad \, x \, + \, f'(C) \, = \, 0$

Voorbeeld

De oplossing van de Clairautvergelijking uit het voorbeeld. In het blauw staan een aantal rechten uit de algemene oplossing en in het rood de singuliere oplossing die deze rechten omhult.

De vergelijking:

$y \, = \, x \, y' \, + (y' \, - \, y'^2) \!$

is een vergelijking van Clairaut met:

$f(t) \, = \, t \, - \, t^2 \!$

• De algemene oplossing is de verzameling rechten:

$y \, = C \, x \, + \, ( C \, - \, C^2) \!$

• De singuliere oplossing ontstaat door C te elimineren uit:

$y \, = C \, x \, + \, ( C \, - \, C^2) \quad ; \quad x \, + \, 1 \, - \, 2C \, = \, 0\!$

zodat de singuliere oplossing wordt:

$y \, = \, \frac{1}{4} \, (x \, + \, 1)^2$