Vergelijking van Liouville

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, is de vergelijking van Liouville, vernoemd naar de Franse wiskundige Joseph Liouville, de vergelijking, waaraan wordt voldaan door de hoekgetrouwe factor f van een metriek

f^2 (dx^2 + dy^2)

op een oppervlak met een constante Gaussiaanse kromming K:

\Delta_0 \;\log f = -K f^2,

waar \Delta_0 de platte Laplace-operator is

\Delta_0 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2}

De vergelijking van Liouville komt in differentiaalmeetkundeboeken vaak voor onder het kopje isotherme coördinaten. Deze term verwijst naar de coördinaten x,y, terwijl f kan worden omschreven als de hoekgetrouwe factor met betrekking tot de vlakke metriek (soms wordt naar het kwadraat f^2 verwezen als de hoekgetrouwe factor, in plaats van f zelf).

Door f te vervangen, gebruik makend van \log f = u \,, verkrijgen we een andere veel voorkomende vorm van dezelfde vergelijking:

\Delta_0 u = - K e^{2u}.