Verjaardagenparadox

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De verjaardagenparadox: p(n) geeft de waarschijnlijkheid dat in een groep van n personen er twee of meer op dezelfde datum jarig zijn; q(n) geeft de waarschijnlijkheid dat in een groep van n personen ten minste één op dezelfde datum jarig is als een van tevoren gekozen persoon (bv. uzelf). Op de horizontale as n, op de verticale as de waarschijnlijkheid (van 0 tot 1, oftewel van 0% tot 100%).

De verjaardagenparadox is een paradox uit de kansrekening, die een resultaat toont dat tegen onze verwachting ingaat. Het gaat om de vraag hoe groot de kans is dat in een groep willekeurig gekozen mensen er (minstens) twee dezelfde verjaardag hebben. Het blijkt dat, onder enkele lichte veronderstellingen, deze kans al meer dan 50% is voor een groep van maar 23 mensen. Bij 57 mensen is de kans zelfs meer dan 99%.

We geven de berekening voor een groep van 23 mensen. We gaan ervan uit dat alle 365 dagen van het jaar gelijkelijk als verjaardag kunnen voorkomen en verwaarlozen schrikkeljaren.

Het blijkt gemakkelijker eerst de kans te berekenen dat alle 23 personen op verschillende dagen jarig zijn. In principe kan ieder van de 23 op elk van de 365 dagen van het jaar jarig zijn. Dat levert in totaal 365^{23} mogelijkheden. Daaronder zijn er een heleboel met dubbele verjaardagen. Zo is een van de mogelijkheden dat alle 23 op 21 maart jarig zijn. Die willen we niet hebben. Als ieder een verschillende verjaardag moet hebben, zijn er voor de eerste van de 23 personen 365 mogelijkheden. Voor de tweede nog maar 364, want de verjaardag van de eerste komt niet meer in aanmerking. De derde heeft 363 mogelijkheden enz. In totaal zijn dat 365 \times 364 \times 363 \times \cdots \times 343 mogelijkheden. De kans q dat allen op verschillende dagen jarig zijn, is het quotiënt van deze twee totalen, dus:

q=\frac{365\times 364\times 363\times \cdots \times 343}{365\times 365\times 365\times \cdots \times 365} = 0{,}493.

De gevraagde kans p dat er twee gelijke verjaardagen voorkomen is het complement hiervan, dus:

p = 1-q = 0{,}507\!.


Voor een groep van n personen wordt de bovengenoemde kans q gegeven door:

q=\frac { 365 \times 364 \times \cdots \times (365-n+1)}{365^n } = { 365! \over 365^n (365-n)!} = \frac{n!}{365^n}{365 \choose n}.


Dit probleem kan ook op de volgende manier voorgesteld worden. In een vaas zitten 365 gele knikkers, de vrije verjaardagen. De eerste persoon pakt er willekeurig een knikker uit en legt er een rode voor in de plaats; zijn verjaardag is bezet. Elke volgende persoon pakt ook willekeurig een knikker en legt een rode terug. Alle n deelnemers trekken een knikker. De kans dat in de loop van het proces een rode knikker, dat wil zeggen een "dubbele verjaardag", wordt getrokken, neemt meer dan verwacht toe.