Vermeetkundigingsvermoeden van Thurston
Het vermeetkundigingsvermoeden van Thurston stelt dat compacte 3-variëteiten kunnen worden ontleed in deelvariëteiten, die meetkundige structuren hebben.
Het vermeetkundigingsvermoeden is een analogon voor 3-variëteiten van de uniformeringsstelling voor oppervlakken. Het vermoeden werd in 1982 voorgesteld door William Thurston en impliceert een aantal andere vermoedens, zoals het vermoeden van Poincaré en het elliptisatievermoeden van Thurston.
[bewerken] De acht Thurston-meetkunden
[bewerken] Sferische meetkunde S3
De puntstabilisator is O3(R), en de groep G is de 6-dimensionale Lie-groep O4(R), met 2 componenten.
De corresponderende variëteiten zijn precies de gesloten 3-variëteiten met eindige fundamentaalgroep. Voorbeelden hiervan zijn de 3-sfeer, de Poincaré-homologiesfeer, Lens-ruimten.
Deze meetkunde kan als een linker-invariante metriek op de Bianchi-groepen van type IX worden gemodelleerd. Variëteiten met deze meetkunde zijn allen compact en hebben de structuur van een Seifert-vezelruimte (vaak op verschillende manieren). De volledige lijst van zulke variëteiten wordt gegeven in het artikel over Seifert-3-variëteiten. Onder de Ricci-stroom storten variëteiten met deze meetkunde in tot een punt in de eindige tijd.
[bewerken] Euclidische meetkunde E3
De puntstabilisator is O3(R), en de groep G is de 6-dimensionale Lie-groep R3.O3(R), met 2 componenten. Voorbeelden hiervan zijn de 3-torus, en meer in het algemeen de mapping torus van een eindige orde automorfisme van de 2-torus, zie torusbundel. Er zijn exact 10 eindige gesloten 3-variëteiten met deze meetkunde, 6 oriënteerbare en 4 niet-oriënteerbare. Deze meetkunde kan als een linker-invariante metriek op de Bianchi-groepen van type I of VII0 worden gemodelleerd. Eindige volume variëteiten met deze meetkunde zijn compact en hebben de structuur van een Seifert-vezelruimte (soms op twee manieren). De volledige lijst van zulke variëteiten wordt in het artikel over Seifert-vezelruimten gegeven. Onder de Ricci-stroom blijven variëteiten met de Euclidische meetkunde invariant.
