Vermoeden van Fermat-Catalan

In de getaltheorie combineert het vermoeden van Fermat-Catalan de ideeën van de laatste stelling van Fermat en het vermoeden van Catalan, vandaar de naam. Het vermoeden zegt dat de vergelijking $a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad$ slechts eindig veel oplossingen heeft waarvoor geldt dat ${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1$, met verschillende waardes van het co-priem tripel $\left(a^{m},b^{n},c^{k}\right)$.

In 2014 waren er 10 bekend:

$1^{m}+2^{3}=3^{2}\;$

$2^{5}+7^{2}=3^{4}\;$

$13^{2}+7^{3}=2^{9}\;$

$2^{7}+17^{3}=71^{2}\;$

$3^{5}+11^{4}=122^{2}\;$

$33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;$

$1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;$

$9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;$

$17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;$

$43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;$

De eerste van deze (1^m+2³=3²) is de enige oplossing waarbij een van a, b of c gelijk aan 1 is, zo zegt het Vermoeden van Catalan, dat in 2002 bewezen is door Preda Mihăilescu. Hoewel deze vergelijking oneindig veel oplossingen geeft zolang m maar groter is dan 6. Dit is echter maar een oplossing aangezien dit geen verschillende waardes a^m, bⁿ en c^k zijn

Als het ABC-vermoeden vermoeden waar is, is dit vermoeden ook waar.