Vier-kwadratenstelling van Lagrange

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De vier-kwadratenstelling van Lagrange, ook bekend als het vermoeden van Bachet, werd in 1770 bewezen door Joseph-Louis Lagrange. Een eerder bewijs door Fermat werd nooit gepubliceerd.

De stelling is bekend uit de Arithmetica van Diophantus, in het Latijn vertaald door Bachet in 1621. Het luidt dat ieder positief geheel getal geschreven kan worden als de som van vier kwadraten van gehele getallen. Bijvoorbeeld:

3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2
31 = 5^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2
310 = 17^2 + 4^2 + 2^2 + 1^2

Formeler, voor elk positief geheel getal n zijn er gehele getallen x1, x2, x3 en x4 zodat

n = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2

Adrien-Marie Legendre verbeterde de stelling in 1798 door te stellen dat een positief geheel getal kan worden geschreven als de som van drie kwadraten dan en slechts dan als het niet van de vorm 4k(8m + 7) is. Zijn bewijs was incompleet, en liet een gat over dat later door Carl Friedrich Gauss werd gedicht.

In 1834 vond Carl Jacobi een exacte formule voor het totaal aantal manieren waarop een gegeven positief geheel getal n kan worden geschreven als som van vier kwadraten. Dat aantal is acht keer de som van de delers van n als n oneven is, en 24 keer de som van zijn oneven delers als n even is.

De vier-kwadraten-stelling van Lagrange is een speciaal geval van de veelhoeksgetalstelling van Fermat en van het probleem van Waring. Een andere generalisatie is de volgende: Gegeven natuurlijke getallen a, b, c en d, kunnen we

 n= ax_1^2 + bx_2^2 + cx_3^2 + dx_4^2

voor alle positieve gehele getallen n oplossen in gehele getallen x1, x2, x3, x4? Het geval dat a=b=c=d=1 wordt door de vier-kwadratenstelling van Lagrange positief beantwoord. De algemene oplossing werd gevonden door Srinivasa Aaiyangar Ramanujan. Hij bewees dat als we, zonder de algemeenheid te verliezen, aannemen dat abcd, dan zijn er precies 54 mogelijke keuzens voor a, b, c en d zodat (*) oplosbaar is in x1, x2, x3 en x4 voor alle n. (Ramanujan gaf nog een 55e mogelijkheid a=1, b=2, c=5, d=5, maar in dit geval is er geen oplossing van (*) voor n=15.[1]). De studie naar deze gevallen leverde uiteindelijk verdere generalisatie op naar de 15- en 290-stelling.

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  • Ireland and Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag. ISBN 0-387-97329-X, 1990