Vierdegraadsvergelijking

Figuur van een polynoom van de vierde graad met 3 kritische punten.

In de wiskunde is een vierdegraadsvergelijking een vergelijking die tot de vorm

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

kan worden herleid, waarin $a,b,c,d$ en $e$ constanten zijn en $a$ ongelijk is aan nul. Het is een vergelijking waarin een polynoom van graad 4 gelijk aan 0 is. Een polynoom van de graad 4 heeft 1 of 3 kritische punten.

Een speciale vierdegraadsvergelijking is een vergelijking waarin een zogeheten bikwadraatfunctie gelijkgesteld wordt aan 0:

$ax^{4}+bx^{2}+c=0$

of met een product van twee kwadratische factoren

$(ax^{2}+bx+c)(py^{2}+qy+r)=0.$

Hierin zijn a, b en c niet dezelfde als in de eerst gegeven vergelijking. Door de speciale vorm zijn dit soort vergelijkingen eenvoudig op te lossen. Niet iedere vierdegraadspolynoom is echter een bikwadraatfunctie.

Geschiedenis

Vierdegraadsvergelijkingen werden het eerst bestudeerd door Indiase wiskundigen tussen 400 en 200 v.Chr.

De ontdekking in 1540 dat elke vierdegraadsvergelijking opgelost kan worden met oplossingen die als wortelvormen geschreven kunnen worden, wordt aan Lodovico Ferrari toegeschreven. De oplossing van de derde- en vierdegraadsvergelijkingen tezamen werd in 1545 door Ferrari's mentor Gerolamo Cardano in het boek Ars Magna gepubliceerd.

In 1824 werd met de stelling van Abel-Ruffini het bewijs geleverd dat 4 de hoogste graad is voor vergelijkingen die kunnen worden opgelost met een formule voor de oplossingen waarin slechts de basisoperaties voor rekenen en wortels voorkomen. Volgens het verhaal leidden aantekeningen, in 1832 nagelaten door Évariste Galois, later tot de volledige theorie van wortels van vergelijkingen.

Oplossing

Een van de oplossingsmethoden is de volgende.

De algemene vierdegraadsvergelijing:

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

wordt genormeerd tot

$x^{4}+b'x^{3}+c'x^{2}+d'x+e'=0$

en met behulp van de transformatie

$x=y-{\tfrac {1}{4}}b'$

herleid tot een genormeerde vorm waarin de term met de derde macht ontbreekt:

$y^{4}+py^{2}+qy+r=0$

In het speciale geval dat $q=0$, is dit een vierkantsvergelijking in het onbekende kwadraat $y^{2}$, die met de standaardmethode opgelost kan worden.

In het algemene geval schrijft men de vergelijking als product van twee kwadratische vormen:

$y^{4}+py^{2}+qy+r=(y^{2}+\alpha y+\beta )(y^{2}-\alpha y+\gamma )=y^{4}+(\gamma +\beta -\alpha ^{2})y^{2}+\alpha (\gamma -\beta )y+\beta \gamma$

Door vergelijking van de coëfficiënten volgt:

$p=\gamma +\beta -\alpha ^{2},\quad q=\alpha (\gamma -\beta ),\quad r=\beta \gamma$

Deze zijn te herleiden tot:

$p+\alpha ^{2}=\gamma +\beta ,\quad q/\alpha =\gamma -\beta$

of:

$(p+\alpha ^{2})^{2}-(q/\alpha )^{2}=(\gamma +\beta )^{2}-(\gamma -\beta )^{2}=4\gamma \beta =4r$

Dit is een derdegraadsvergelijking in $\alpha ^{2}$, waarna met de oplossing voor $\alpha$ ook $\beta$ en $\gamma$ bepaald kunnen worden. Door nulstellen van de beide kwadratische vormen worden de uiteindelijke oplossingen gevonden.