Viervector

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Speciale relativiteitstheorie
{E}\,  = m\, c^2
(de massa-energierelatie)

Een viervector is een elementair wiskundig object in de (speciale) relativiteitstheorie. Het is een veralgemening van het begrip vector in gewone mechanica. Het is een set van vier getallen, die tezamen een fysische grootheid voorstellen. De definiërende eigenschap van een viervector is de transformatie-eigenschap onder Lorentztransformaties (die in algemene relativiteitstheorie veralgemeend worden tot willekeurige diffeomorfismes.)

Inleiding[bewerken]

Positie-viervector[bewerken]

Het basisidee van speciale relativiteitstheorie is het op gelijke voet behandelen van ruimte en tijd. Dit volgt uit het inzicht dat ruimte en tijd geen afzonderlijke grootheden zijn, maar tezamen één geheel vormen, ruimte-tijd genaamd. Dit inzicht is een noodzakelijk gevolg van de experimentele waarneming dat de lichtsnelheid dezelfde waarde heeft, voor alle waarnemers die met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen (inertiaalstelsels).

In klassieke mechanica treedt een soortgelijk fenomeen op. Het is duidelijk dat men een systeem kan beschrijven in verschillende assenstelsels. Er is dus geen absolute betekenis te geven aan wat men de x-, y- en z-coördinaat noemt. Daarom maakt men in de mechanica vaak gebruik van vectoren: veel grootheden, zoals snelheid, positie, kracht,... hebben immers op een natuurlijke wijze drie componenten. Afzonderlijk hebben de componenten geen fysische betekenis, aangezien een andere keuze van assenstelsel de waardes van de componenten van de vector zal vermengen. Als geheel is een vector dan weer wel zinvol, en is dus eigenlijk mede gedefinieerd door hoe de componenten veranderen onder een verandering van assenstelsel.

Het begrip viervector veralgemeent dit begrip, ruwweg door aan vectoren ook een tijds-component toe te voegen. Het eenvoudigste voorbeeld is de aanduiding van een positie. In klassieke mechanica gebeurt dit door drie coördinaten (x,y,z) op te geven. Dat beschrijft een bepaalde positie in de ruimte, zonder een tijdstip te specifiëren. Een positie-viervector (ruimtetijdpositie) ziet er echter uit als volgt:

(ct, x, y, z)

en bepaalt dus een welbepaalde positie (x,y,z) op een welbepaald tijdstip t. Anders uitgedrukt: deze vector beschrijft de positie van een gebeurtenis in de ruimtetijd. In de uitdrukking hierboven is c de lichtsnelheid, en garandeert dat de verschillende componenten van de viervector allemaal dezelfde eenheid hebben (lengte). Net zoals men een vector (x,y,z) ook wel bondig noteert als x^i, met i=1,2,3, noteert men een positie-viervector als

 \vec{X}^\mu := \left(X^0, X^1, X^2, X^3 \right) = \left(ct, x, y, z \right)

met \mu  = 0, 1, 2, 3, Op gelijkaardige wijze kan men het verschil tussen twee posities in de ruimtetijd weergeven als volgt:

 \Delta \vec{X}:= \left(\Delta ct, \Delta x, \Delta y, \Delta z \right)

Net als gewone vectoren, zijn viervectoren uitgerust met een bilineaire vorm (maar die in dit geval geen inwendig product is maar een generalisatie daarvan), gedefinieerd als


\vec{U} \cdot {V}
= \eta_{\mu \nu} U^{\mu} V^{\nu}
= \left( \begin{matrix}U^0 & U^1 & U^2 & U^3 \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}V^0 \\ V^1 \\ V^2 \\ V^3 \end{matrix} \right)
=  U^0 V^0 - U^1 V^1 - U^2 V^2 - U^3 V^3

In de tweede stap wordt de Einstein-sommatieconventie gehanteerd: over herhaalde indices moet gesommeerd worden. Ook gebruiken sommige handboeken een andere tekenconventie, waarbij de matrix \eta_{\mu \nu} tegengestelde tekens op de diagonaal heeft: (-1,1,1,1).

Lorentztransformaties[bewerken]

In speciale relativiteitstheorie worden de Galileïsche coördinatentransformaties vervangen door Lorentztransformaties. Deze beschrijven hoe coördinaten eruitzien als men van assenstelsel verandert. (Meer precies, hoe het coördinaten-label van een gegeven punt verandert als men overstapt naar een systeem dat met een constante snelheid ten opzichte van het eerste beweegt.) Het blijkt dat onder een Lorentztransformatie de nieuwe coördinaten van een punt in de ruimtetijd er nu uitzien als:

\begin{cases}
t' &= \gamma \left( t - v x/c^{2} \right)  \\ 
x' &= \gamma \left( x - v t \right)\\
y' &= y \\ 
z' &= z
\end{cases}

met \ \gamma =  \frac{1}{ \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}} de Lorentzfactor. Men kan dit ook in matrixvorm schrijven:


\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta \gamma&0&0\\
-\beta \gamma&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}\ .

met \beta = \frac{v}{c}=\frac{\|\vec{v}\|}{c} en \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.

Definitie[bewerken]

Nu is het eenvoudig om een meer precieze notie van het begrip viervector te geven. Een viervector is elke set van vier getallen die transformeert als de positievector onder Lorentztransformatie. Het blijkt immers dat er bijzonder veel vectoren uit de klassieke mechanica zijn, zoals snelheid, kracht, elektrische stroomdichtheid,... waaraan men op natuurlijke wijze een vierde component kan toevoegen, en zodoende een goede viervector krijgen.

Grootheden die aan bovenstaande definitie voldoen zijn eigenlijk contravariante viervectoren. De positievector zelf is dus ook een contravariante viervector. Men definieert voor elke contravariante viervector U^\mu ook een geassocieerde covariante vector U_\nu als volgt:

 U_\nu = \eta_{\mu\nu} U^\mu

De omgekeerde weg is ook mogelijk:

 U^\mu = \eta^{\mu\nu} U_\nu

hierbij is \eta^{\mu\nu} de inverse matrix van \eta_{\mu\nu}, en heeft toevallig precies dezelfde componenten.

Voorbeelden[bewerken]

Viersnelheid[bewerken]

Een object dat beweegt doorheen de ruimte(tijd), kan men beschrijven met een parameterisatie van de positie-viervector van het object: x^\mu(\tau). Men definieert dan de viersnelheid ruw gesproken als de afgeleide van deze ruimtetijds-positie. Meer precies is:

u^\mu = \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d} \tau}

Deze uitdrukking is wel alleen waar indien men de parameter  \tau \, langs het pad gelijk neemt aan de eigentijd. In termen van de snelheid van het object is

 u^\mu = \gamma (c,\vec{v})

Hierbij is  \vec{v} de gewone snelheidsvector van het object (met drie componenten dus), c de lichtsnelheid en  \gamma de Lorentz-factor. Het is duidelijk dat dit een veralgemening is van het gewone begrip van snelheid in mechanica.

Vier-kracht[bewerken]

Gegeven de bovenstaande uitdrukking voor de vier-snelheid kan men eenvoudig het viermomentum definiëren als volgt:

P^\mu = m_0 u^\mu

met m0 de rustmassa. Vervolgens is het vrij natuurlijk om de kracht inwerkend op een voorwerp te definiëren als de tijdsafgeleide van het momentum. Wederom is de tijdafgeleide een afgeleide naar de eigentijd. (Wat, gegeven een bewegend object de enige natuurlijke notie van tijd is.) In symbolen:

\vec{F} = {d\vec{P} \over d\tau}.

Wederom kan men dit uitdrukken in termen van de beter bekende krachtvector f met drie componenten: We kunnen nu de veralgemening van de tweede wet van Newton opschrijven in de vorm van vier-vectoren:

\vec{F} = m\vec{A} = \left(\gamma {d\gamma \over dt} mc,\gamma\vec f\right).

Met \vec f=m\left({d\gamma \over dt} \vec u+\gamma{d \vec{u} \over dt} \right).

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  • Charles W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler, Gravitation, ISBN 0716703440
  • Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edn.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5
  • R. d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, ISBN 0198596863