Vitali-verzameling
In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Vitali-verzameling een elementair voorbeeld van een verzameling van reële getallen, die niet Lebesgue meetbaar is. De Vitali-verzameling is genoemd naar de Italiaanse wiskundige Giuseppe Vitali. De stelling van Vitali is een existentiestelling dat er zulke verzamelingen bestaan. Er zijn ontelbaar vele Vitali-verzamelingen en hun bestaan is bewezen onder de veronderstelling van het keuzeaxioma.
[bewerken] Meetbare verzameling
Zekere verzamelingen hebben een gedefinieerde 'lengte' of 'massa'. Het gesloten interval [0, 1] wordt bijvoorbeeld geacht de lengte 1 te hebben; meer in het algemeen wordt een interval [a, b], waar a ≤ b, geacht een lengte b - a te hebben. Als we zulke intervallen als metalen staven met uniforme dichtheid beschouwen, hebben deze metalen staven eveneens een goedgedefinieerde massa. De verzameling [0, 1] ∪ [2, 3] is samengesteld uit twee intervallen met lengte één, dus is de totale lengte gelijk aan 2. In termen van de massa hebben we twee staven met massa 1, zodat de totale massa 2 is.
Nu rijst de volgende, natuurlijke vraag: als E een willekeurige deelverzameling van de reële lijn is, heeft E dan een 'massa' of een 'totale lengte'? Men kan bijvoorbeeld vragen wat de massa van de verzameling rationale getallen is, gegeven dat de massa van het interval [0, 1] gelijk is aan 1. De rationale getallen zijn dicht in de reële getallen, zodat enige positieve waarde tussen 0 en 1 een redelijk antwoord lijkt te zijn.
Het blijkt echter dat het nauwste analogon met massa de Lebesgue-maat is. De Lebesgue-maat kent een maat van b-a toe aan het interval [a, b], maar een maat van 0 aan de verzameling van rationale getallen. Van elke verzameling met een goedgedefinieerde Lebesgue-maat zegt men dat deze "meetbaar" is, maar de constructie van de Lebesgue-maat (door bijvoorbeeld gebruik te maken van de buitenmaat) maakt het niet in een klap duidelijk of er al dan niet niet-meetbare verzamelingen bestaan.
[bewerken] Zie ook
[bewerken] Referenties
- Herrlich, Horst: Axiom of Choice (Keuzeaxioma), bladzijde 120. Springer, 2006.
