Vlasov-vergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Vlasov-vergelijking, genoemd naar de Russische natuurkundige Anatoly Alexandrovich Vlasov, is een van de fundamentele vergelijkingen in onder meer de plasmafysica. Het is een Boltzmann-vergelijking zonder botsingsterm, die beschrijft hoe de verdelingsfunctie \! f(x,v,t) verandert van deeltjes die niet wisselwerken door botsingen met naburige deeltjes, maar elkaar collectief beïnvloeden, zoals de geladen deeltes in een plasma (zie Debyelengte). De banen van elektronen en ionen worden bepaald door E en B velden die de deeltjes zelf veroorzaken.

De Vlasov-vergelijking voor de elektronen is

 \partial_t f + v \cdot \partial_x f
  + \frac{e}{m} (E + v \times B) \cdot \partial_v f = 0

waarin e en m de elektron lading en massa zijn. De ladings- en stroomdichtheid van de elektronen zijn

 q = e \int f dv

en

 J = e \int v f dv .

Voor ionen gelden analoge vergelijkingen. Een compleet stelsel vergelijkingen voor een plasma bestaat uit Vlasov-vergelijkingen voor elektronen en ionen, aangevuld met de Maxwell vergelijkingen met als brontermen de som van de  q -s en  {J} -s.

Relativistische vergelijking[bewerken]

Bij zeer hoge temperatuur, zodat de snelheid van veel elektronen in de buurt van de lichtsnelheid ligt, moet de relativistische versie van de Vlasov-vergelijking gebruikt worden voor de verdelingsfunctie \! f(x,p,t)

 \partial_t f + v \cdot \partial_x f
  + e (E + v \times B) \cdot \partial_p f = 0

waarin

v = \frac{p}{m\gamma}, \quad 
   \gamma = \sqrt{1+(p/mc)^2} = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}

\! \gamma is de Lorentzfactor.