Vlechtgroep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde is de vlechtgroep op n strengen, aangeduid door Bn, een groep, die een intuïtieve meetkundige weergave heeft, en die in zekere zin het concept van een symmetrische groep Sn veralgemeent. Hier staat n voor een natuurlijk getal; als n > 1, dan is Bn een oneindige groep. Vlechtgroepen kennen toepassingen in de knopentheorie, aangezien elke knoop kan worden weergegeven door de afsluiting van bepaalde vlechten.

Intuïtieve beschrijving[bewerken]

Deze introductie gaat uit van n = 4, de veralgemening naar andere waarden van n is relatief eenvoudig. Beschouw twee verzamelingen van vier voorwerpen, die op een tafel liggen, waar de voorwerpen in elke verzameling in een verticale lijn worden gerangschikt, zodanig dat de ene verzameling zich naast de andere bevindt (in de onderstaande illustratie zijn dit de zwarte stippen). Met vier strengen wordt nu elk item in de eerste verzameling (links) verbonden met een item in tweede verzameling (rechts), zodanig dat dat er een een-op-een correspondentie resulteert. Een dergelijke verbinding wordt een vlecht genoemd. Vaak zullen bepaalde strengen over elkaar heen of onder elkaar door lopen en dit is cruciaal: de volgende twee verbindingen zijn verschillende vlechten.

The braid sigma_1^(-1)       verschilt van      The braid sigma_1

Aan de ander kant worden twee van zulke verbindingen, die men er hetzelfde uit kan laten zien door "aan de strengen te trekken", als dezelfde vlecht beschouwd:

The braid sigma_1^(-1)     is hetzelfde als    Another representation of sigma_1^(-1)

Van alle strengen vereist men dat deze zich van links naar rechts bewegen; vlechten met knopen erin, zoals de onderstaande, worden niet als vlechten beschouwd:

Not a braid    is geen vlecht

Twee willekeurige vlechten kunnen worden samengesteld door de eerste naast de tweede te tekenen, de vier items in het midden te identificeren en de corresponderende strengen te verbinden:

Braid s3.png     samengesteld met     Braid s2.png     levert op     Braid s3s2.png

Een ander voorbeeld:

Braid s1 inv s3 inv.png     samengesteld met     Braid s1 s3 inv.png     levert op     Braid s3 inv squared.png

De samenstelling van vlechten σ en τ wordt geschreven als στ.

De verzameling van alle vlechten met vier strengen wordt aangeduid met B4. De bovenstaande samenstelling van vlechten is inderdaad een groepsbewerking. Het neutrale element is de vlecht, die uit vier evenwijdige horizontale strengen bestaat, en het inverse element van een vlecht maakt de groepsbewerking van de eerste vlecht "ongedaan", dit ongeacht wat de eerste vlecht heeft uitgevoerd. (De eerste twee voorbeeldvlechten in het voorbeeld hierboven zijn inversen van elkaar.)

Generatoren en relaties[bewerken]

Beschouw de onderstaande drie vlechten:

   Braid s1.png       Braid s2.png       Braid s3.png   
σ1
σ2
σ3

Elke vlecht in B4 kan worden geschreven als een samenstelling van een aantal van deze vlechten en hun inversen. Met andere woorden, deze drie vlechten genereren de groep S4. Om dit in te zien wordt een willekeurige vlecht van links naar rechts gescand; wanneer men een kruising van de strengen i en i + 1 (vanaf de top op het punt van de kruising geteld) tegenkomt, wordt σi van σi-1 opgeschreven, afhankelijk van het feit of streng i onder of over streng i + 1 heen beweegt. Bij het bereiken van de rechterkant is de vlecht geschreven als een product van de σ's en hun inversen.

Het is duidelijk dat:

σ1σ3 = σ3σ1

De twee volgende relaties zijn echter niet zo duidelijk:

σ1σ2σ1 = σ2σ1σ2
σ2σ3σ2 = σ3σ2σ3

(deze relaties kunnen het best worden ingezien door de vlecht op een stuk papier te tekenen). Het kan worden aangetoond dat alle andere relaties onder de vlechten σ1, σ2 en σ3 al volgen uit deze relaties en de groepsaxioma's.

Wanneer wij dit voorbeeld veralgemenen naar n strengen, kan de groep Bn op abstracte wijze worden gedefinieerd via de volgende groepspresentatie:

  • generatoren σ1,...,σn−1
  • relaties (bekend als de vlecht- of Artinrelaties):
    • σi σj = σj σi wanneer |i − j| ≥ 2 ;
    • σi σi+1 σi = σi+1 σi σi+1 for i = 1,..., n − 2 (wordt ook wel de vergelijking van Yang-Baxter genoemd)

Deze definitie beschouwt met als de "algebraïsche" definitie van een vlechtgroep.

Enige eigenschappen[bewerken]

De groepen B0 en B1 zijn triviale groepen; B2 is een oneindige cyclische groep. B3 is een niet-abelse oneindige groep; in feite is B3 isomorf met de knoopgroep van het klaverblad.

Alle niet-identiteitselementen in Bn hebben een oneindige orde; in andere woorden: Bn is torsie-vrij. Mits n > 2, bevat Bn een vrije groep op twee generatoren, en is dus geen abelse groep. Men kan dit ook inzien door vast te stellen dat Bn afbeeldt op de symmetrische groep Sn, die niet-abels is.

Bn is een deelgroep van Bn+ 1 en kan worden beschouwd als bestaande uit al die vlechten op n + 1 strengen, waarbij de onderste horizontale deel is en geen enkele anders noch kruist noch wordt doorkruist door een andere vlecht. De formele vereniging van alle vlechtgroepen wordt soms ook wel de oneindige vlechtgroep genoemd.

Er bestaat een nuttig begrip "lengte" voor de elementen van de vlechtgroep. Dit "lengte-begrip" wordt gegeven door het groepshomomorfisme BnZ dat iedere σi afbeeldt naar 1. Zo is bijvoorbeeld de lengte van de vlecht σ2 σ3 σ1-1 σ2 σ3 is 1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3. Deze notie leidt bijvoorbeeld tot de deelgroep van Bn bestaande uit alle vlechten met even lengte.

Geschiedenis[bewerken]

Vlechtgroepen werden in 1925 expliciet geïntroduceerd door Emil Artin, hoewel Wilhelm Magnus er in 1974 op heeft gewezen[1] dat vlechtgroepen impliciet reeds in 1891 in het werk van Adolf Hurwitz over monodromie aanwezig waren. In essentie beweert Magnus dat Hurwitz de interpretatie van een vlechtgroep als de fundamentaalgroep van een configuratieruimte gaf (zie vlechttheorie), een interpretatie die vervolgens uit het oog werd verloren, totdat deze interpretatie in 1962 door Ralph Fox en Lee Neuwirth werd herontdekt.

Verbinding met de knopentheorie en berekenbaarheidsaspecten[bewerken]

Als men voor een gegeven vlecht het eerste item aan de linkerhand met het eerste item aan de rechterhand verbindt, en dit voor de tweede, derde en volgende items links en recht herhaalt, waarbij men steeds een nieuwe streng gebruikt (zonder enige vlechten in de nieuwe strengen te creëren), verkrijgt men een schakel en soms een knoop. De stelling van Alexander in de vlechttheorie stelt dat het omgekeerde ook waar is: elke knoop en elke schakel ontstaat op deze manier uit ten minste een vlecht; deze vlecht kan worden verkregen door de schakel door te snijden. Aangezien vlechten in de generatoren σ i concreet als woorden kunnen worden gegeven, geeft men vaak de voorkeur aan deze methode bij het invoeren van knopen in computerprogramma's.

Voetnoten[bewerken]

  1. Wilhelm Magnus. p = 8ca127a073654ea182c15cbecdeca393&pi=3 Braid groups: A survey (Vlechtgroepen: een overzicht. In Lecture Notes in Mathematics, volume 372, pages 463-487. Springer, 1974. Proceedings of the Second International Conference on the Theory of Groups (Verslag van de tweede internationale conferentie over de groepentheorie), Canberra, Australië, 1973. ISBN 978-3-540-06845-7

Externe links[bewerken]