Voortplantingssnelheid

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De voortplantingssnelheid van een golf is de snelheid waarmee de golf zich door de ruimte voortplant. Golfvoortplanting treedt bijvoorbeeld op bij licht, geluid en golven aan het wateroppervlak. Licht en andere elektromagnetische golven kunnen zich door vacuüm voortplanten, maar de meeste typen golven hebben een medium nodig: bij geluid is dat lucht of een ander samendrukbaar materiaal, en bij watergolven is dat een wateroppervlak.

De voortplantingssnelheid is afhankelijk van het medium en het type golf. De voortplantingssnelheid van licht en andere elektromagnetische golven, de lichtsnelheid, is in vacuüm een universele constante. In andere media is de waarde van de lichtsnelheid niet alleen lager dan in vacuüm, maar verschilt ook van medium tot medium afhankelijk van de brekingsindex en kan zelfs bij anisotrope media in verschillende richtingen andere waarden hebben. Ook is de lichtsnelheid voor media met dispersie frequentie-afhankelijk. De geluidssnelheid is eveneens afhankelijk van het soort materiaal en de dichtheid, en de snelheid van een golf op het wateroppervlak hangt onder meer af van de diepte en de golflengte.

De voortplantingssnelheid van een golf is in principe de snelheid waarmee een golffront zich uitbreidt. De moeilijkheid daarbij is dat een golf vaak een superpositie is, waarvan de afzonderlijke componenten verschillende voorplantingssnelheden kunnen hebben.

Harmonische golf[bewerken]

Een harmonische golf in één richting, zeg de x-richting, met amplitude A en hoekfrequentie ω wordt beschreven door de uitwijking u:

u(x,t) = A\cos\left[\omega \left(t - \frac xv\right)\right]

Daarin is v de voortplantingssnelheid.

Men schrijft vaak:

u(x,t) = A\cos(\omega t - kx)\,,

met:

k =\frac{\omega}v\,

het (cirkel)golfgetal.

Tussen de voortplantingssnelheid v en andere grootheden bestaan de volgende betrekkingen:


v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f = \frac{\omega}k.

Hierin is λ de golflengte, T de periode en f de frequentie.

Fase- en groepssnelheid[bewerken]

Doordat een golf meestal bestaat uit een superpositie van harmonische golven, kunnen de snelheden van de afzonderlijke componenten uiteenlopen. Men maakt daarom onderscheid in fasesnelheid en groepssnelheid. De fasesnelheid is dan de snelheid waarmee een punt op de golf met vaste fase zich voortplant en de groepssnelheid de snelheid waarmee het omhullende van de golf zich voortplant.

Om de begrippen te verduidelijken beschouwen we een golf die bestaat uit twee harmonische golven, voor het gemak elk met amplitude 1 en fasehoek 0 voor i=1,2 beschreven door:


\cos(\omega_it-k_ix)\,

met cirkelfrequentie ωi en (cirkel)golfgetal ki.

De superpositie van beide is:


\cos(\omega_1t-k_1x)+\cos(\omega_2t-k_2x)=2\cos(\omega_\mathrm{f}t-k_\mathrm{f}x)\cos(\omega_\mathrm{g}t-k_\mathrm{g}x)\,

waarin:


\omega_\mathrm{f}=\tfrac 12(\omega_1+\omega_2)

\omega_\mathrm{g}=\tfrac 12(\omega_1-\omega_2)

en


k_\mathrm{f}=\tfrac 12(k_1+k_2)

k_\mathrm{g}=\tfrac 12(k_1-k_2)
.
Rood punt met fasesnelheid, groen met groepssnelheid

We zien daarin twee golfverschijnselen, een met de gemiddelde cirkelfrequentie ωf van beide en voortplantingssnelheid vf, de fasesnelheid, en een ander met als cirkelfrequentie ωg het halve verschil van beide en voortplantingssnelheid vg, de groepssnelheid. Voor ons oog verschijnt een snel fluctuerende golf met voortplantingssnelheid de fasesnelheid waarvan de amplitude langzaam varieert volgens de tweede golf die de omhullende van de golf bepaalt. Deze omhullende plant zich voort met de groepssnelheid.

We drukken de beide snelheden uit in de basisgrootheden cirkelfrequentie en voortplantingssnelheid:


v_\mathrm{f}=\frac{\omega_\mathrm{f}}{k_\mathrm{f}}=\frac{\omega_1+\omega_2}{k_1+k_2}=\frac{\omega_1+\omega_2}{\omega_1/v_1+\omega_2/v_2}

v_\mathrm{g}=\frac{\omega_\mathrm{g}}{k_\mathrm{g}}=\frac{\omega_1-\omega_2}{k_1-k_2}=\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_1/v_1-\omega_2/v_2}

Anders geschreven:


\frac 1{v_\mathrm{f}}=\frac{\omega_1}{\omega_1+\omega_2}\frac 1{v_1}+\frac{\omega_2}{\omega_1+\omega_2}\frac 1{v_2}

\frac 1{v_\mathrm{g}}=\frac{\omega_1}{\omega_1-\omega_2}\frac 1{v_1}-\frac{\omega_2}{\omega_1-\omega_2}\frac 1{v_2}

De fasesnelheid is dus het met de frequenties gewogen harmonisch gemiddelde van de beide snelheden en de groepssnelheid het gewogen harmonisch verschil.

Daaruit zien we dat in het geval de voortplantingssnelheden v1 en v2 van beide componenten gelijk zijn, ook de fasesnelheid en de groepssnelheid daaraan gelijk zijn. Interessant wordt het als er van dispersie sprake is, zodat de beide voortplantingssnelheden verschillen. Dan gaan ook de fase- en groepssnelheid van elkaar verschillen. In de animatie is dit duidelijk te zien.

Het algemene geval is moeilijker te analyseren. Een golfpakket kan beschreven worden door:


u(x,t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}A(\omega)e^{i(k(\omega)x-\omega t)}\mathrm{d}\omega

Als het golfpakket min of meer pulsvormig is, zal het spectrum A tamelijk scherp gepiekt zijn rondom een waarde ωf. Het golfgetal kan dan ontwikkeld worden rond deze waarde:


k(\omega)=k_\mathrm{f}+k'(\omega_\mathrm{f})(\omega-\omega_\mathrm{f}) + \ldots

Dat levert als benadering:

u(x,t)\approx
e^{i(k_\mathrm{f} x-\omega_\mathrm{f} t)}\int\limits_{-\infty}^{\infty}A(\omega)e^{i(k'(\omega_\mathrm{f})x-t)\omega}\mathrm{d}\omega

De eerste term laat een golf zien met cirkelfrequentie ωf, de centrale (verwachte) waarde van het spectrum. De voortplantingssnelheid daarvan, de fasesnelheid is:


v_\mathrm{f}=\frac{\omega_\mathrm{f}}{k_\mathrm{f}}

De tweede (de integraal) stelt de groep voor. De voortplantingssnelheid daarvan, de groepssnelheid, is:


v_\mathrm{g}=\frac 1{k'(\omega_\mathrm{f})}=\left.\frac{\partial \omega}{\partial k}\right|_{k=k_\mathrm{f}}

De groepssnelheid wordt algemeen gedefinieerd als:


v_\mathrm{g}=\frac{\partial \omega}{\partial k}
.

In het bovenstaande discrete geval van twee harmonische golven, moet dit als het genoemde differentiequotiënt geïnterpreteerd worden.

In het algemeen geldt voor de fasesnelheid

v_\mathrm{f} = \frac{\omega_\mathrm{f}}{k_\mathrm{f}}

Daarmee kan de volgende relatie (Rayleigh) afgeleid worden:

v_\mathrm{g} = v_\mathrm{f} + k_\mathrm{f}\frac{\mathrm{d}v_\mathrm{f}}{\mathrm{d}k_\mathrm{f}}.

Omdat

k_\mathrm{f} = \frac{2\pi}{\lambda}

luidt deze betrekking in termen van de golflengte λ:

v_\mathrm{g} = v_\mathrm{f} -\lambda \frac{\mathrm{d}v_\mathrm{f}}{\mathrm{d}\lambda}.

Zie ook[bewerken]