Waterstofatoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Het 1H-atoom in de isotopentabel

Een waterstofatoom is een atoom van het chemische element waterstof. Het elektrisch neutrale atoom bevat een positief geladen proton en een negatief geladen elektron, dat aan de kern wordt gebonden door de Coulombkracht. De meest voorkomende isotoop, protium (ook waterstof-1 of lichte waterstof genoemd), bevat geen neutronen; andere isotopen van waterstof, zoals deuterium en tritium, bevatten respectievelijk één en twee neutronen.

Waterstofatoom als modelsysteem in de kwantummechanica[bewerken]

Het waterstofatoom is het eenvoudigste realistische systeem dat zich laat behandelen met de kwantummechanica. Omdat het een tweedeeltjesprobleem is, en de twee deeltjes (het elektron en het proton waar het omheen "cirkelt") op de schaal van het atoom als puntmassa's kunnen worden beschouwd, kan onder die (in de praktijk alleszins redelijke) aanname een exacte oplossing gegeven worden voor de Schrödingervergelijking (het waterstofatoom is daarmee ook het enige atoom waarvoor men de Schrödingervergelijking exact kan oplossen). Op die manier heeft men nauwkeurige kwantitatieve voorspellingen kunnen doen die een van de redenen vormen dat de kwantummechanica als succesvolle natuurkundige theorie ingang heeft gevonden.

Het zichtbare deel van de Balmerreeks

Onder meer de frequenties van verschillende series spectraallijnen (met name de Balmerreeks en de Lymanreeks) kunnen op deze manier worden berekend uit "eerste beginselen", waar voorheen alleen empirische formules voorhanden waren.

De orbitaalstructuur van waterstof is in de theoretische chemie en computationele chemie nog steeds een belangrijk theoretisch en praktisch hulpmiddel bij het beschrijven van de elektronenstructuur van andere atomen en van moleculen (al kan men de vergelijkingen voor dergelijke systemen niet meer exact oplossen, zelfs niet in de Born-Oppenheimerbenadering).

Oplossing van de Schrödingervergelijking[bewerken]

De Schrödingervergelijking voor de golffunctie \Psi van het elektron dat met constante energie \mathrm E in het Coulombveld van de atoomkern golft, is


\mathrm E \Psi(\vec r) = - \frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta \Psi(\vec r) - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r}\Psi(\vec r)
.

De Laplaciaan \Delta wordt uitgeschreven in bolcoordinaten en voor de golffunctie worden de variabelen gescheiden:  \Psi(r,\vartheta,\varphi) = R(r) Y(\vartheta, \varphi ) .

De vergelijking kan dan zo geschreven worden dat de linker kant alleen van r afhangt en de rechter kant alleen van de hoekcoordinaten \vartheta, \varphi. Linker en rechter kant zijn dus constant. De Schrödingervergelijking splitst in twee, voor R en voor Y:

 \frac{\hbar^2}{2m_e} \left[{1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial R(r)\over \partial r}\right) - {l(l+1)R(r)\over r^2} \right] + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r}R(r) + E R(r) = 0

en

\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}Y(\theta,\varphi)\right] + \frac{1}{\sin^2\theta}\,\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}Y(\theta,\varphi) + l(l+1)Y(\theta,\varphi) = 0.

Deze vergelijkingen hebben alleen de constante gemeen die geschreven wordt als l(l+1). De tweede vergelijking heeft dan voor l=0,1,2,\dots bolfuncties Y_{lm} als oplossing. Voor elke l zijn er 2l+1 oplossingen aangeduid met index m.

De eerste vergelijking wordt omgevormd door een reeks substituties. Dat gaat het eenvoudigst als de vergelijking geschreven wordt in atomaire eenheden[1]. Substitutie van E=-1/2n^2, r=\rho n/2 en vervolgens R=\rho^l e^{-\rho/2}w(\rho) levert tenslotte

\rho w''+(2l+2-\rho)w'+(n-l-1)w=0

waarvan de oplossing w bekend is uit de theorie van Laguerre polynomen. Voor elke l zijn er oneindig veel oplossingen R_{nl}, namelijk voor elke gehele n>l.

Het resultaat in gewone eenheden is:

 \Psi_{nlm}(r,\vartheta,\varphi) = R_{nl}(r)\; Y_{lm}(\vartheta, \varphi ) .
 R_{nl}(r) = \sqrt {{\left(\frac{2}{n a_0}\right)}^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]} }\; e^{- \rho / 2}\; \rho^{l}\; L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)
 Y_{lm}(\vartheta, \varphi ) zijn sferisch harmonischen
a_0 = \hbar / m_e c\alpha de Bohrstraal van het H-atoom, \alpha de fijnstructuurconstante, \rho = 2r / n a_0 en
 L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) gegeneraliseerde Laguerre-polynomen.

De kwantumgetallen kunnen de volgende waarden hebben:

 n=1,2,3,\ldots
l=0,1,2,\ldots,n-1
m=-l,\ldots,l.

Alleen deze oplossingen van de Schrödingervergelijking zijn acceptabele golffuncties: genormeerd, éénwaardig en eindig.

Energieniveaus[bewerken]

De energieniveaus van het elektron hangen alleen van n af

E_n = - { {m_e c^2\alpha^2}\over {2n^2} } = {E_1 \over n^2} , \; \; E_1 = - 13,6 eV,

negatief omdat het energie kost om het elektron uit het atoom te verwijderen. Ze bepalen het waterstofspectrum. De frequenties van de Lymanreeks zijn

(E_n-E_1)/h = \nu_H (1-1/n^2) , \; \; voor n>1,

voor de Balmerreeks

(E_n-E_2)/h = \nu_H (1/4-1/n^2), \; \; voor n>2,

enz. \nu_H = cR_H \approx 3,3 PHz; R_H is de Rydbergconstante.

Golffuncties voor n=1 en n=2[bewerken]

Grondtoestand

\Psi_{100} = \sqrt{1 \over \pi a_0^3} e^{-r/a_0}

Eerste aangeslagen toestand

\Psi_{200} = \sqrt{1 \over 32\pi a_0^3} \left(2-{r \over a_0}\right) e^{-r/2a_0}
\Psi_{210} = \sqrt{1 \over 32\pi a_0^3} \left({r \over a_0}\right) e^{-r/2a_0} \cos \vartheta
\Psi_{2,1,\pm 1} = \sqrt{1 \over 64\pi a_0^3} \left({r \over a_0}\right) e^{-r/2a_0}\sin \vartheta \; e^{\pm i \varphi}

Correcties[bewerken]

Bovenstaand model is een zeer goede benadering hoewel de massa van de atoomkern M oneindig groot verondersteld is vergeleken met m_e en relativistische correcties niet verrekend zijn.

De eindige atoomkernmassa kan eenvoudig in de formules gecorrigeerd worden door m_e te vervangen door de gereduceerde massa m_r = m_e M / (M+m_e).

Door relativistische correcties zijn de energieniveaus niet meer alleen van n afhankelijk. De spectraallijnen hebben een fijnstructuur.

Waterstofachtige ionen[bewerken]

Het model geldt ook voor 1-elektron ionen He⁺, Li²⁺ enz. met kernlading Ze als in de Schrödingervergelijking e² vervangen wordt door Ze². In de oplossing verandert a0 in a0/Z en En krijgt er een factor Z² bij. De energieniveaus zijn dan een factor Z² dieper.

Bronnen, noten en/of referenties
  1. L.D.Landau, E.M. Lifshitz (2003) - Quantum Mechanics, non-relativistic theory, Butterworth-Heinemann, par.36