Weibull-verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Weibull-verdeling
Kansdichtheid
Weibul pdf.png
Verdelingsfunctie
Weibul cdf.png
Parameters \lambda>0\, schaal (reëel)
k>0\, vorm (reëel)
Drager x \in [0; +\infty)\,
Kansdichtheid (k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}
Verdelingsfunctie 1- e^{-(x/\lambda)^k}
Verwachtingswaarde \mu=\lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,
Mediaan \lambda\ln(2)^{1/k}\,
Variantie \sigma^2=\lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,
Scheefheid \frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}
Kurtosis (zie tekst)
Entropie \gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k
+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde


In de kansrekening en de statistiek is de Weibull-verdeling (genoemd naar Waloddi Weibull) een continue kansverdeling waarvan de kansdichtheid voor \scriptstyle x \ge\,0 gedefinieerd wordt door

\!f(x;\lambda,k) = \tfrac k\lambda \left(\tfrac x\lambda\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k}.

Daarin is k > 0 de vormparameter en \lambda > 0 de schaalparameter van de verdeling.

De verdelingsfunctie wordt voor \scriptstyle x \ge\,0 gegeven door

F(x;\lambda,k) = 1- e^{-(x/\lambda)^k}\,.

Weibull-verdelingen worden vaak gebruikt als levensduurverdeling om de tijd te modelleren tot een gegeven technisch apparaat uitvalt. Als de uitvalsnelheid (MTBF) van het toestel afneemt over de tijd, kiest men k<1, wat resulteert in een afnemende dichtheid f. Wanneer de uitvalsnelheid van het toestel constant is in de tijd, kiest men k=1, wat opnieuw resulteert in een afnemende dichtheid. Als de uitvalsnelheid toeneemt in de tijd, kiest men k>1, zodat de kansdichtheid f eerst stijgt naar een maximum en dan voor altijd afneemt. Fabrikanten zullen vaak de vorm- en schaalparameters meegeven voor de verdeling van de levensduur van een specifiek toestel. De Weibull-verdeling kan ook gebruikt worden om de verdeling van de windsnelheden op een bepaalde plaats op aarde te modelleren. Opnieuw wordt elke locatie gekarakteriseerd door de vorm- en schaalparameter.

Eigenschappen[bewerken]

Het n-de moment van de verdeling wordt gegeven door:

m_n = \lambda^n \Gamma(1+n/k)\,

Daarin is \Gamma de Gammafunctie.

De verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van een Weibull-verdeelde toevalsvariabele X kunnen uitgedrukt worden als:

\textrm{E}(X) = \lambda \Gamma(1+1/k)\,

en

\textrm{var}(X) = \lambda^2[\Gamma(1+2/k) - \Gamma^2(1+1/k)]\,

De scheefheid wordt gegeven door:

\gamma_1=\frac{\Gamma\left(1+\frac{3}{k}\right)\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}

De kurtosis is gegeven door:

\gamma_2=\frac{-6\Gamma_1^4+12\Gamma_1^2\Gamma_2-3\Gamma_2^2
-4\Gamma_1\Gamma_3+\Gamma_4}{[\Gamma_2-\Gamma_1^2]^2}

waar \Gamma_i=\Gamma(1+i/k). De kurtosis kan ook geschreven worden als:

\gamma_2=\frac{\lambda^4\Gamma\left(1+\frac{4}{k}\right)
-3\sigma^4-4\gamma_1\sigma^3\mu-6\sigma^2\mu^2-\mu^4}{\sigma^4}

Generatie van Weibull-verdeelde toevalsgrootheden[bewerken]

Gegeven een toevalsgetal U getrokken uit een uniforme verdeling in het interval (0, 1] , dan heeft de grootheid

X=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,

een Weibull-verdeling met parameters k en λ. Dit volgt uit de vorm van de verdelingsfunctie.

Verwante verdelingen[bewerken]

  • De exponentiële verdeling is een Weibull-verdeling met vormparameter k = 1.
  • De Rayleigh-verdeling is een Weibull-verdeling met vormparameter k = 2.
  • Als X uniform verdeeld is op het interval [0,1], heeft \lambda(-\ln(X))^{1/k} een Weibull-verdeling met vormparameter k en schaalparameter \lambda.

Toepassing[bewerken]

De Weibull-verdeling geeft de verdeling van de levensduur van voorwerpen. Ze wordt ook gebruikt in de analyse van systemen met een zwakste schakel. De Weibull-verdeling wordt vaak gebruikt in plaats van de normale verdeling omwille van het feit dat een Weibull-verdeelde toevalsvariabele gegenereerd kan worden door inversie, terwijl normale toevalsvariabelen typisch gegenereerd worden met de complexere Box-Müller-transformatie, die twee uniform verdeelde toevalsvariabelen vereist. Weibull-verdelingen kunnen ook gebruikt worden om fabricage- en leveringstijden voor te stellen in industriële processen.

Externe links[bewerken]