Weierstrass-substitutie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Weierstrass-substitutie, genoemd naar de Duitse wiskundige Karl Weierstrass, is een methode, die wordt gebruikt om met behulp van substitutie een integraal te berekenen. Met deze methode kan de primitieve functie van een functie f worden bepaald, wanneer f een rationale functie is van sin(x) en cos(x). f is een functie in de variabele x. Nadat in de eerste stap de substitutie is uitgevoerd, ontstaat een nieuwe functie in de nieuwe variabele t, deze nieuwe functie is een rationale functie in t.

Toepasbaarheid[bewerken]

De substitutie is te gebruiken wanneer de integrand, de te integreren functie, een rationale functie R is van sin(x) en cos(x), dus een breuk met in teller en noemer een polynoom, die machten van sin(x) en cos(x) bevat. Ook de andere goniometrische functies kunnen voorkomen gezien het feit dat ze allen kunnen herleid worden tot de sinus en de cosinus. De integraal is dus van de vorm:

\int R(\cos(x), \sin(x))\, \mathrm{d}x

Met R een rationale functie van twee variabelen.

Vorm van de substitutie[bewerken]

De Weierstrass-substitutie die in dat geval kan worden toegepast is:

t  = \tan\left(\frac{x}{2}\right)

Dit betekent concreet dat sin(x) en cos(x) respectievelijk worden vervangen door:

\sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}
\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}

Deze uitdrukkingen volgen op eenvoudige wijze uit de basisformules van de goniometrie, namelijk deze voor overgang op de halve hoek:

\sin(x) = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) =  2\tan\left(\frac{x}{2}\right)\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{2\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{2t}{1+t^2}

en:

\cos(x) =  2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 = \frac{2}{\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)} - 1 = \frac{2}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}  - 1 = \frac{2}{1+t^2} - 1 = \frac{1-t^2}{1+t^2}

Verder wordt de differentiaal dx van de integraal ten gevolge van deze substitutie vervangen door:

\mathrm{d}x = \frac{2\mathrm{d}t}{1+t^2}

Het resultaat van deze substitutie is dan zoals gezegd een rationale functie van de variabele t.

Speciaal geval[bewerken]

Wanneer de te integreren functie alleen even machten van sinus en cosinus bevat:

\int R(\cos^2(x), \sin^2(x))\, \mathrm{d}x

is de substitutie

\displaystyle t = \tan(x)

beter geschikt. Dan worden de bijhorende substituties:

\sin^2(x) = \frac{t^2}{1+t^2}
\cos^2(x) = \frac{1}{1+t^2}

en voor de differentiaal:

\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}

Voorbeeld[bewerken]

Dit voorbeeld behandelt een integraal uit het algemeen geval:

I  =  \int \frac{\sin(x)}{1+\sin(x)+\cos(x)} \, \mathrm{d}x

Na toepassing van de Weierstrass substitutie wordt dit een rationale integraal in de variabele t:

I  =  \int \frac{2t}{(t+1)(t^2+1)} \, \mathrm{d}t

Deze integraal kan nu verder worden opgelost met de technieken die beschikbaar zijn voor het oplossen van een integraal met een rationale integrand. Concreet moet in dit geval eventueel eerst de teller gedeeld worden door de noemer, indien de graad van de teller minstens gelijk is aan de graad van de noemer. De rest na deling kan vervolgens worden gesplitst in partiële breuken. Wanneer de graad van de teller strikt kleiner is dan de graad van de noemer kan men onmiddellijk splitsen in partieelbreuken. In dit voorbeeld wordt dit :

I  =  \int \left(- \frac{1}{t+1} +  \frac{t+1}{t^2+1} \right) \, \mathrm{d}t

zodat:

I =  -\ln|t+1|  +  \frac{1}{2}\ln(t^2+1) + \arctan(t) + K

Substitueer t=tan \frac{x}{2} en maak gebruik van de eigenschappen van de logaritme:

I  =  \frac{x}{2} - \ln\left|\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)\right| +  K

Zie ook[bewerken]