Welordeningsstelling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, stelt de welordeningsstelling dat elke verzameling welgeordend kan zijn. Een verzameling X is welgeordend door een strikte totale ordening als elke niet-lege deelverzameling van X een minimaal element onder deze orde heeft. Dit staat ook wel bekend als de stelling van Zermelo en is gelijkwaardig aan het keuzeaxioma.[1] Ernst Zermelo voerde het keuzeaxioma als een "niet bezwaarlijk logisch principe" in om de welordeningsstelling te bewijzen. Dit is belangrijk omdat welgeordendheid elke verzameling onderhevig maakt aan de krachtige techniek van de transfiniete inductie. De welordeningsstelling heeft gevolgen die paradoxaal kunnen lijken; een voorbeeld daarvan is de Banach-Tarski-paradox.

Geschiedenis[bewerken]

Georg Cantor beschouwde de welordeningsstelling als een "fundamenteel principe in het denken." De meeste wiskundigen vinden het echter moeilijk om zich een visuele voorstelling te vormen van de welordening van bijvoorbeeld de verzameling R van reële getallen. In 1904 beweerde Gyula Kőnig dat hij had bewezen dat een dergelijke welordening niet kan bestaan. Een paar weken later vond Felix Hausdorff echter een fout in Königs bewijs. Wel bleek echter dat de welordeningsstelling gelijkwaardig is aan het keuzeaxioma, in die zin dat in de eerste orde logica een van beide samen met de Zermelo-Fraenkel axioma's voldoende is om de andere te bewijzen. Hetzelfde geldt ook voor het lemma van Zorn. In de tweede orde logica is de welordeningsstelling strikt genomen sterker dan het keuzeaxioma: uit het welordeningsstelling kan men hier het keuzeaxioma deduceren.[2]

Voetnoten[bewerken]

  1. (en) Marek Kuczmazie An introduction to the theory of functional equations and inequalities
  2. (en) Shapiro, Stewart, Foundations Without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic, Oxford University Press, New York, 1991 ISBN 0198533918.