Wet van Betz

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Volgens de wet van Betz, ontwikkeld door Albert Betz, is er een theoretisch maximale hoeveelheid energie die door middel van een rotor (bijvoorbeeld wieken van een windmolen) aan een stromend fluïdum (wind) kan worden onttrokken.

Om deze te berekenen gebruikt men het model van een cirkelvormige schijf in plaats van de rotor waarbij de schijf de energie onttrekt aan het fluïdum dat erdoor gaat. De snelheid van het fluïdum is lager ná de schijf dan er voor.

Stel v_1\! is de snelheid van het fluïdum vóór de rotor en v_2\! de snelheid erna. De gemiddelde snelheid is v_{avg}\!:

 v_{\rm avg} = \begin{matrix} \frac12 \end{matrix} \cdot (v_1 + v_2)

De oppervlakte van de schijf is S, en ρ is de dichtheid van het fluïdum. De massastroom (de massa van het fluïdum per tijdseenheid) is:

 \dot m = \rho \cdot S \cdot v_{\rm avg} = \frac{\rho \cdot S \cdot (v_1 + v_2)}{2}

Het onttrokken vermogen is het verschil in kinetische energie van het instromende en uitstromende fluïdum per tijdseenheid:

 \dot E = \begin{matrix} \frac12 \end{matrix} \cdot \dot m \cdot (v_1^2 - v_2^2)
 = \begin{matrix} \frac14 \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot (v_1 + v_2) \cdot (v_1^2 - v_2^2)
 = \begin{matrix} \frac14 \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot v_1^3 \cdot (1 - (\frac{v_2}{v_1})^2 + (\frac{v_2}{v_1}) - (\frac{v_2}{v_1})^3) .
De horizontale as geeft aan de verhouding  \begin{matrix} \frac{v_2}{v_1} \end{matrix} , de verticale as de "prestatiecoëfficient" Cp.

Door  \dot E te differentiëren naar  \begin{matrix} \frac{v_2}{v_1} \end{matrix} bij een fluïdumsnelheid van v1 en een oppervlakte S vindt men de maximale of minimale waarde voor  \dot E . De uitkomst is dat  \dot E een maximum bereikt bij  \begin{matrix} \frac {v_2}{v_1} = \frac13 \end{matrix} .

Substitueer deze waarde met als resultaat:

 E_{\rm max} = \begin{matrix} \frac{16}{27} \cdot \frac{1}{2} \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot v_1^3 .

Het vermogen dat beschikbaar in een cilindrisch fluïdum met een oppervlakte van de doorsnede S en die zich beweegt met een snelheid v1 is:

 E = \begin{matrix} \frac12 \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot v_1^3 .

De "prestatiecoëfficiënt" Cp (=  \begin{matrix} \frac {E_{\rm max}}{E} \end{matrix} ) heeft een maximale waarde van Cp.max =  \begin{matrix} \frac{16}{27} \end{matrix} = 0,593 (of 59,3 %; echter, prestatiecoëfficiënten worden gewoonlijk uitgedrukt als decimalen, niet als percentage).

Verliezen door een rotor vormen de belangrijkste energieverliezen in, bijvoorbeeld, een windmolen. Het is belangrijk om deze dan ook zo klein mogelijk te maken. Moderne rotors hebben een Cp-waarde van ongeveer 0,4 tot 0,5, wat dus overeenkomt met ongeveer 70 tot 80% van wat theoretisch mogelijk is.

Referentie[bewerken]

Betz, A. (1966) Introduction to the Theory of Flow Machines. (D. G. Randall, Trans.) Oxford: Pergamon Press.