Wet van Shannon-Hartley

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De wet van Shannon-Hartley zegt dat de maximale hoeveelheid data die foutloos over een kanaal getransporteerd kan worden lineair toeneemt met de bandbreedte van het kanaal en verder afhankelijk is van de signaal-ruisverhouding. De wet is vernoemd naar Claude Shannon en Ralph Hartley en staat ook bekend onder de naam Shannonlimiet of Shannoncapaciteit.

De formule[bewerken]

De formule die hoort bij de wet van Shannon-Hartley is:


C = BW \cdot \log_2(1+S/N)

waar

C de kanaalcapaciteit is in bits per seconde;
BW de bandbreedte van het kanaal in Hertz is;
S/N de signaal-ruisverhouding is uitgedrukt als de ratio van het vermogen van het signaal over de ruis (niet in decibel).

Voor grote signaal-ruisverhoudingen kan de formule worden benaderd door:

C = 0,332 · BW · SNR (in dB).

Voor kleine signaal-ruisverhoudingen kan de formule worden benaderd door:

C = 1,44 · BW · S/N (als vermogensratio).

De wet is in 1948 door Shannon gepubliceerd en onder andere gebaseerd op werk van Hartley, die een wet formuleerde die zei dat informatie proportioneel is met het product van tijd en bandbreedte.

Voorbeelden[bewerken]

Een telefoonlijn heeft een typische bandbreedte van 3000 Hz en een signaal-ruisverhouding van 30 dB ofwel een signaal-ruisvermogensverhouding van 10(30/10) wat gelijk is aan 1000. Nu geldt C = 3000·log2(1000+1) ≈ 30.000 bits per seconde ofwel 30 kbps.

Video met Super-VHS-kwaliteit en gecodeerd met behulp van MPEG-4 resulteert in een bitstroom van 4 Mbps. Analoge televisiekanalen zijn 8 MHz breed. Voor de benodigde signaal-ruisverhouding om deze 4 Mbps over het 8 MHz brede kanaal te transporteren geldt:


4\cdot10^6 = 8\cdot10^6 \cdot \log_2(1 + S/N) \Leftrightarrow 1 + S/N = 2^{\frac48} \Rightarrow S/N = \sqrt{2} - 1 \approx 0,\!41 \approx -3,\!87\ \mathrm{dB}

In praktijk stelt de Federal Communications Commission (FCC) een limiet van 43 dB voor het Amerikaanse analoge NTSC-systeem. Bij een SNR kleiner dan circa 40 dB zal de verstoring al waarneembaar zijn op een analoge televisie. Analoge televisie is zogezegd niet bandbreedte-efficiënt oftewel niet spectraal efficiënt.

Het laatste voorbeeld laat ook zien dat communicatie met een signaal dat lager is dan de ruisvloer mogelijk is. Deze techniek staat bekend onder de naam spread-spectrum-technologie.

Toepassing[bewerken]

Shannon gaf met deze wet dan wel aan wat de theoretische kanaalcapaciteit is, maar onthield zich van uitspraken over welke kanaalcoderingsmethode nodig is om dit te bereiken. Ongecodeerde QPSK zit voor een bitfoutkans van 10-6 bijna 9 dB bij de Shannonlimiet vandaan. Via de Hammingcode in 1950, de convolutiecodering in 1955, het Viterbi-algoritme, de Bose-Chaudhuri-Hocquenghemcodes en de Reed-Solomoncodes rond 1960 en Trellis-gecodeerde modulatie in 1987 kwam men steeds dichter bij de Shannonlimiet.

Een belangrijke doorbraak die communicatie zeer dicht bij de Shannonlimiet mogelijk maakt, was de uitvinding van Turbocodes in 1993. Turbocodes, samen met de in 1996 herontdekte Low-density Parity-check codes, worden toegepast in recente standaarden als WiMAX, DVB-S2 en UMTS.

Bronnen, noten en/of referenties
  • C. E. Shannon, "Communication in the presence of noise", Proceedings of the Institute of Radio Engineers, vol. 37, no.1, pp. 10-21, Jan. 1949[1].