Wet van behoud van impulsmoment

De Wet van behoud van impulsmoment stelt dat als een voorwerp eenmaal in een bepaald tempo aan het draaien is, het de neiging heeft om die draaiing vol te houden. Er is dus een externe kracht - of liever gezegd een moment nodig om dat te veranderen. Wordt dat moment niet geleverd, dan kan er geen verandering zijn van het impulsmoment en wordt dat "behouden". Het is één van de behoudswetten waarop de klassieke mechanica is gebaseerd.

In formules wordt impulsmoment aangegeven met L. In deze L zit verwerkt de massa van het draaiende voorwerp, hoe snel die massa beweegt en hoe ver van de draaias die massa (gemiddeld) zit.

$\mathbf{L}=\sum_i \mathbf{r}_i\times m_i \mathbf{V}_i$

In woorden: het totale impulsmoment L is de optelsom voor alle deeltjes in het voorwerp van massa x snelheid x afstand tot de draaiingsas.

Behoud van impulsmoment bij kunstschaatsers

Als een kunstschaatser een pirouette - een snelle ronddraaiende beweging - maakt, zie je vaak dat de draaiing wordt ingezet met wijd uitgestrekte armen. Als de schaatser de armen intrekt wordt de draaiing enorm versneld. Dat is een direct gevolg van het "behoud" van de hierboven genoemde L: de m blijft gelijk, de r (afstand van de armen tot het midden) wordt steeds kleiner, dus de v wordt groter.

Dit is zelf uit te testen met bijvoorbeeld 2 gewichtjes en een draaibare bureaustoel:

• Ga op de draaistoel zitten met gestrekte armen en begin rond te draaien, trek vervolgens de gewichten naar je toe en je zult een grotere draaisnelheid krijgen.

Behoud van impulsmoment van planeten en satellieten

Net als voor kunstschaatser en bureaustoelen geldt de wet ook voor planeten en andere voorwerpen die in de ruimte ergens omheen draaien.

Als r × p constant is, terwijl r varieert (elliptische baan), dan zal p zo variëren, dat L constant blijft. Daaruit kan de perkenwet van Kepler worden afgeleid.

Afleiding

Het impulsmoment van een massapunt verandert niet als er geen moment op wordt uitgeoefend. Dit kan als volgt afgeleid worden. De verandering van impulsmoment is:

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}$.

Nu is:

$\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\vec{v}$, de snelheid van het massapunt

en

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}$, de kracht op het massapunt.

De laatste betrekking is de tweede wet van Newton.

Dus:

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} = \vec{v} \times \vec{p} + \vec{r} \times \vec{F}$ .

De eerste term draagt niet bij:

$\vec{v} \times \vec{p} = \vec{v} \times m \vec{v}=\vec{0}$

Dus:

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{\tau}$,

waarin $\vec{\tau}$ het moment op het massapunt is.

Indien F nul is of in de richting van de draaias werkt is er geen moment, zodat

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}$

Dus L = r × p is constant tijdens de beweging van het object. Met andere woorden, L is een behouden grootheid.

Zie ook

• Spin (elementair deeltje)
• Tol (object)
• Gyroscoop
• Rotatie (natuurkunde)