Wortelgemiddelde

Het wortelgemiddelde, ook veralgemeend gemiddelde of Höldergemiddelde (genoemd naar Otto Hölder, 1859–1937), is een generalisatie van het gewone rekenkundig gemiddelde, en omvat behalve dit gemiddelde onder meer de begrippen meetkundig gemiddelde, kwadratisch gemiddelde en harmonisch gemiddelde in afhankelijkheid van een parameter.

Definitie

Voor een reëel getal $p\ne 0$ is het $p$-de-machtswortelgemiddelde van de niet-negatieve getallen $a_1, a_2,\ldots, a_n$ gedefinieerd als:

$W_p (a_1, a_2,\ldots, a_n) = \left(\frac 1n \sum_{k=1}^{n} a_k^p\right)^{1/p}$.

Ook voor $p= 0, p=-\infty$ en $p=\infty$ is het wortelgemiddelde gedefinieerd en wel is:

$W_0(a_1, a_2,\ldots, a_n)= \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}$ (het meetkundig gemiddelde)

$W_{-\infty}(a_1, a_2,\ldots, a_n) = \min\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ (het minimum van de getallen)

$W_\infty(a_1, a_2,\ldots, a_n) = \max\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ (het maximum van de getallen)

Speciale gevallen

• $W_{2} =$ het kwadratisch gemiddelde van $\{a_1, a_2,\cdots, a_n\} = \sqrt[2]\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}$
• $W_{1} =$ het rekenkundig gemiddelde van $\{a_1, a_2,\cdots, a_n\} = \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$
• $W_{-1} =$ het harmonisch gemiddelde van $\{a_1, a_2,\cdots, a_n\}$
• $W_{-2} =$ het subharmonisch gemiddelde van $\{a_1, a_2,\cdots, a_n\}$

• De speciale gevallen $W_0, W_{-\infty}$ en $W_\infty$ kunnen opgevat worden als limietgevallen.

Limietgevallen

Het wortelgemiddelde $W_0$ is de limiet van $W_p$ voor $p \to 0$. Immers:

$W_p(a_1,\ldots,a_n) = \exp{\left( \ln{\left(\frac 1n \sum_{k=1}^n a_k^p \right)^{1/p}} \right) } = \exp{\left( \frac{\ln{\left(\sum_{k=1}^n a_k^p \right)}-\ln n}{p} \right) }$

Voor de exponent geldt volgens de regel van l'Hôpital:

$\lim_{p \to 0} \frac{\ln{\left(\sum_{k=1}^n a_k^p \right)-\ln n}}{p} = \lim_{p \to 0} \frac{\sum_{k=1}^n a_k^p \ln{a_k}}{\sum_{k=1}^n a_k^p} = \frac 1n \sum_{k=1}^n \ln{a_k} = \ln\left((a_1a_2\ldots a_n)^{1/n}\right)$.

Omdat de exponentiële functie continu is, volgt:

$\lim_{p \to 0} W_p(a_1,a_2,\ldots ,a_n) = \exp{\ln\left((a_1a_2\ldots a_n)^{1/n}\right)} = (a_1a_2\ldots a_n)^{1/n} = W_0(a_1,a_2,\ldots ,a_n)$

Het wortelgemiddelde $W_\infty$ is de limiet van $W_p$ voor $p \to \infty$. Immers:

Laat $a=\max\{a_1,a_2,\ldots ,a_n\}$, dan is:

$\lim_{p \to \infty} W_p(a_1,a_2,\ldots ,a_n) = \lim_{p \to \infty} \left( \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k^p \right)^{1/p} = a \lim_{p \to \infty} \left( \frac 1n \sum_{k=1}^n \left( \frac{a_k}{a} \right)^p \right)^{1/p} = a = W_\infty (a_1,a_2,\ldots ,a_n)$.

Het wortelgemiddelde $W_{-\infty}$ is de limiet van $W_p$ voor $p \to -\infty$.

Dit is een direct gevolg van de betrekking:

$W_{-\infty} (a_1,a_2,\ldots ,a_n) = \frac{1}{W_\infty (1/a_1,1/a_2,\ldots ,1/a_n)}.$

Eigenschappen

• Het wortelgemiddelde is homogeen, d.w.z. voor $\lambda > 0$ geldt:

$W_p (\lambda a_1,\lambda a_2,\ldots ,\lambda a_n) = \lambda W_p(a_1, a_2,\ldots , a_n)$.

• De berekening van een wortelgemiddelde kan opgesplitst worden in blokken van gelijke grootte:

$W_p(a_1,\ a_2, \ldots,a_{m\cdot k}) = W_p(W_p(a_1,\ldots,a_k), W_p(a_{k+1},\ldots, a_{2k}),\ldots, W_p(a_{(m-1)k + 1},\ldots,x_{m\cdot k}))$

• Algemeen geldt voor $-\infty \le s \le t \le \infty$:

$W_s (a_1, a_2,\ldots , a_n) \le W_t (a_1, a_2,\ldots , a_n)$.

• Het wortelgemiddelde van n dezelfde getallen is gelijk aan dat getal:

$W_p (a, a, \ldots , a) =a$.

• Als de wortelgemiddelden voor twee verschillende machten aan elkaar gelijk zijn, dan zijn alle getallen aan elkaar gelijk.

$s \neq t \and W_s (a_1, a_2,\ldots, a_n) = W_t (a_1, a_2,..., a_n) \implies a_1 = a_2 = \ldots = a_n$.

• Op de n-dimensionale reële of complexe coördinatenruimte vormt het wortelgemiddelde van de absolute waarden van de coördinaten voor $p \ge 1$ een norm.

Veralgemening

Er bestaat ook een zinvolle veralgemening van het wortelgemiddelde tot oneindig veel getallen, zie Lp-ruimte.