Worteltrekken

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Worteltrekken is een van de inverse operaties van het machtsverheffen (de andere inverse operatie is logaritme nemen). Voor informatie over de wiskundige betekenis van de wortel gaat u naar Wortel (wiskunde).

Handmatig worteltrekken[bewerken]

Het trekken van een vierkantswortel uit een getal k komt neer op het zoeken naar een getal dat in het kwadraat k oplevert. Deze operatie is vrij bewerkelijk als k geen kwadraat is van een natuurlijk getal. De derdemachtswortel kan ook met de hand worden getrokken. Hieronder volgt een strategie om iedere vierkantswortel te berekenen.

Factoriseren en vereenvoudigen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Op de pagina deelbaar zijn er trucjes om efficiënter de priemfactoren te vinden.

Als voorbeeld ontbinden we het getal 252 in priemfactoren. 252 is even en dus deelbaar door 2:

252=2\times 126

Ook 126 is even, dus

252=2\times2\times 63

Het getal 63 is oneven, maar wel deelbaar door 3, en zelfs door 9:

252=2\times2\times 3\times 3\times 7

Aangezien 7 een priemgetal is, is de factorisatie klaar.

In het kort: \sqrt{252} = \sqrt{2^2\cdot3^2\cdot7} = 2\cdot3\cdot\sqrt{7} = 6\sqrt{7}. In de wiskunde wordt doorgaans deze vereenvoudigde vorm gebruikt. Exacter is het niet uit te drukken.

Benaderen van de wortel[bewerken]

Uitgebreidere rekenmachines hebben een worteltrekfunctie. Met pen en papier valt de wortel ook te trekken. Het is een iteratief proces dat overeenkomsten vertoont met de staartdeling. Vanwege het dubbele product moet de vorige uitkomst steeds maal twee genomen worden. Het algoritme staat al in onder meer Nederlandse rekenboeken uit de 17e eeuw.

Voorbeeld 1[bewerken]

\sqrt{1234} = 35,\!12\ldots

Berekening in stappen:

  1. verdeel 1234 van achteren in tweetallen cijfers, dus 12|34
  2. neem de entier van de wortel (dus naar beneden afgerond) uit het voorste tweetal [√12] = 3
  3. trek 32 = 9 af van 12. Rest 3
  4. haal 34 erbij, we hebben nu 334 over
  5. twee maal onze voorlopige wortel is 2 × 3 = 6
  6. welk cijfer c voldoet aan 6c × c = 334 of iets kleiner? c=5 want 65 × 5 = 325. Dus wortel tot dusver 35
  7. trek 325 af van 334. Rest 9
  8. haal twee cijfers bij, dus 00. Omdat we de gehelen hebben uitgeput, zal een komma verschijnen in het antwoord. We hebben nu 900
  9. twee maal onze voorlopige wortel is 2 × 35 = 70
  10. welk cijfer c voldoet aan 70c × c = 900 of iets kleiner? c=1 want 701 × 1 = 701. Dus wortel tot dusver 35,1
  11. trek 701 af van 900. Rest 199
  12. haal twee cijfers bij, dus 00. We hebben nu 19900
  13. twee maal onze voorlopige wortel is 2 × 351 = 702
  14. welk cijfer c voldoet aan 702c × c = 19900 of iets kleiner? c=2 want 7022 × 2 = 14044. Dus wortel tot dusver 35,12
Enzovoorts....

Voorbeeld 2[bewerken]

Trek de wortel uit 543.

Verdeel het getal 543 in groepjes van twee cijfers te beginnen bij de komma:

    √5 43,00 00

Zoek het grootst mogelijke kwadraat dat in het eerste groepje van twee cijfers past:

       √5 43,00 00 = 
    ?×?= 

Het gezochte getal is 2:

       √5 43,00 00 = 2
    2×2=4
        —
        1

Met het verschil tussen dit kwadraat en het groepje wordt verder gerekend. Haal nu de volgende twee cijfers erbij:

       √5 43,00 00 = 2
    2×2=4
        —
        1 43

Zoek vervolgens het grootst mogelijke getal y zodat (2×20+y)y ≤ 143. Het getal 20 komt van het in de vorige stap gevonden cijfer 2.

       √5 43,00 00 = 2
    2×2=4
        —
        1 43
   4?×?= 

Hier past het cijfer 3. Bepaal ook weer de rest en haal het volgende groepje erbij.

       √5 43,00 00 = 23
    2×2=4
        —
        1 43
   43×3=1 29
        ————
          14 00

Zo gaat het verder: Zoek weer het grootst mogelijke getal y zodat (2×230+y)y ≤ 1400. Het getal 230 komt van de in de vorige stappen gevonden cijfers 23.

       √5 43,00 00 = 23
    2×2=4
        —
        1 43
   43×3=1 29
        ————
          14 00
    46?×?= 

Hier past het cijfer 3. Bepaal ook weer de rest en haal het volgende groepje erbij. Zoek het grootst mogelijke getal y zodat (2×2330+y)y ≤ 1400. Het getal 2330 komt van de in de vorige stappen gevonden cijfers 233.

       √5 43,00 00 = 23,3
    2×2=4
        —
        1 43
   43×3=1 29
        ————
          14 00
    463×3=13 89
          —————
             11 00
      466?×?= 

Zo gaat het door:

       √5 43,00 00 = 23,3023
    2×2=4
        —
        1 43
   43×3=1 29
        ————
          14 00
    463×3=13 89
          —————
             11 00
      4660×0=    0
             —————
             11 00 00
     46602×2= 9 32 04
             ————————
              1 67 96 00
    466043×3= 1 39 81 29

Wortel 543 met 4 cijfers achter de komma: 23,3023.

Externe links[bewerken]