Zèta-verdeling

In de kansrekening en de statistiek is de zèta-verdeling een discrete kansverdeling met parameter $a > 1$, gegeven door de kansfunctie:

$p(n)=\frac 1{\zeta(a)}n^{-a} \,$, voor n = 1, 2, 3, ...

Daarin is

$\zeta(a) = \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^a} \,,$

de Riemann-zèta-functie, gedefinieerd voor $a > 1$.

De termen zèta-verdeling en zipfverdeling worden soms door elkaar gebruikt, hoewel ze niet identiek zijn. Een zipfverdeling gedefinieerd voor alle gehele waarden is een zèta-verdeling.

Momenten

Als de stochastische variabele X een zèta-verdeling met parameter a heeft, wordt het k-de moment gegeven door:

$E(X^k) = \frac 1{\zeta(a)}\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^{a-k}}$

Deze reeks is alleen convergent voor $a - k > 1$, zodat

$E(X^k) =\left\{ \begin{matrix} \zeta(a-k)/\zeta(a) & \textrm{voor}~k < a-1 \\ \infty & \textrm{voor}~k \ge a-1 \end{matrix} \right.$

Zie ook

• Paretoverdeling