Zèta-verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kansrekening en de statistiek is de zèta-verdeling een discrete kansverdeling met parameter a > 1, gegeven door de kansfunctie:

p(n)=\frac 1{\zeta(a)}n^{-a} \,, voor n = 1, 2, 3, ...

Daarin is

\zeta(a) = \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^a} \,,

de Riemann-zèta-functie, gedefinieerd voor a > 1.

De termen zèta-verdeling en zipfverdeling worden soms door elkaar gebruikt, hoewel ze niet identiek zijn. Een zipfverdeling gedefinieerd voor alle gehele waarden is een zèta-verdeling.

Momenten[bewerken]

Als de stochastische variabele X een zèta-verdeling met parameter a heeft, wordt het k-de moment gegeven door:

E(X^k) = \frac 1{\zeta(a)}\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^{a-k}}

Deze reeks is alleen convergent voor a - k > 1, zodat

E(X^k) =\left\{
\begin{matrix}
\zeta(a-k)/\zeta(a) & \textrm{voor}~k < a-1 \\
\infty & \textrm{voor}~k \ge a-1
\end{matrix}
\right.

Zie ook[bewerken]