Zeven bruggen van Koningsbergen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Kaart van Koningsbergen uit Eulers tijd, met de locatie van de zeven bruggen aangegeven.

De zeven bruggen van Koningsbergen is een wiskundig vraagstuk. Het geldt als één van de eerste problemen uit de grafentheorie. Het "probleem" werd voor het eerst opgelost door Leonhard Euler in 1736.

Het vraagstuk[bewerken]

De stad Koningsbergen (heden ten dage Kaliningrad) lag in het oosten van Pruisen aan de rivier de Pregel, waarin twee eilanden lagen die door zeven bruggen met elkaar en met de vaste wal verbonden waren; dit staat hieronder schematisch afgebeeld. De vraag was nu of het mogelijk is om zó te wandelen dat je precies één maal over elke brug liep. In sommige versies van het vraagstuk werd ook geëist dat men terug bij het startpunt eindigde.

In 1736 heeft Euler aangetoond dat dit onmogelijk is. Tevens heeft hij laten zien dat het probleem beschouwd kan worden als een probleem op een graaf, waarin het vraagstuk over de bruggen van Koningsbergen als volgt geabstraheerd is:

Konigsberg bridges.png7 bridges.svgKönigsberg graph.svg

In de graaf, de rechter afbeelding, wordt elke brug voorgesteld door een lijn, en de eilanden en oevers door een blauw knooppunt. De punten die aan een oneven aantal lijnen grenzen, noemen we punten van oneven graad. Men kan aantonen dat het aantal punten van oneven graad in elke graaf even is. Om een Eulerwandeling of Eulertoer, waarbij men precies één keer over elke lijn loopt, mogelijk te maken, moeten er nul of twee punten van oneven graad zijn. Zijn er twee punten van oneven graad, dan moet de wandeling starten in het ene oneven punt en eindigen in het andere oneven punt. Zijn er geen punten van oneven graad, dan kan de wandeling overal beginnen en eindigt de wandeling waar hij begonnen is. Geen van beide is in Koningsbergen mogelijk doordat er meer dan twee punten grenzen aan een oneven aantal lijnen.

Het verschil tussen de echte ligging en de schematische weergave van hierboven is een goed voorbeeld van het kenmerk dat topologie zich niet bezighoudt met de exacte weergave van zaken, maar meer met hun relatieve vorm.

De huidige staat van de bruggen[bewerken]

Twee van de zeven oorspronkelijke bruggen werden vernietigd door het bombardement op Koningsbergen ten tijde van de Tweede Wereldoorlog. Twee andere werden later door de Russen verwijderd en vervangen door een snelweg. De overige drie bruggen bestaan nog, waarbij opgemerkt wordt dat er slechts twee dateren uit de tijd van Euler, en dat er één door de Duitsers in 1935 werd herbouwd.[1]

In termen van de grafentheorie, zijn er nu twee punten waar een even aantal lijnen samenkomen (namelijk twee). Bij twee andere punten komen in de huidige situatie drie lijnen samen. Daarmee is op dit moment een Eulerwandeling wel degelijk mogelijk, alhoewel het voor toeristen een onpraktische route zou zijn.[2]

Bronnen[bewerken]

  1. Taylor, Peter. What Ever Happened to Those Bridges?. Australian Mathematics Trust (December 2000)
  2. Stallmann, Matthias. The 7/5 Bridges of Koenigsberg/Kaliningrad (Juli 2006)