Zwaartelijn

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Driehoek met een zwaartelijn

Een zwaartelijn in een driehoek is een lijn die door een van de hoekpunten gaat en de overliggende zijde snijdt in het midden van deze zijde. Een zwaartelijn verdeelt een driehoek in twee driehoeken met gelijke oppervlakte. In beperkte zin wordt met zwaartelijn ook wel het lijnstuk bedoeld van het hoekpunt naar het midden van de overstaande zijde.

De drie zwaartelijnen, de drie bedoelde lijnstukken, in een driehoek verdelen elkaar in de verhouding 1:2. Daaruit volgt dat de drie zwaartelijnen elkaar in één punt snijden, het zwaartepunt van de driehoek.

Lengtes[bewerken]

De driehoek \triangle ABC heeft de zijden a, b en c, zo dat a de tegenover A, b tegenover B en c tegenover C ligt. De lengte z_a van de zwaartelijn uit A wordt gegeven door:

z_a = \tfrac 12 \sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\,.

Hieruit laat zich eenvoudig afleiden dat het viervoud van de som van de kwadraten van de zwaartelijnen gelijk is aan het drievoud van de som van de kwadraten van de zijden.

4(z_a^2+z_b^2+z_c^2) = 3(a^2+b^2+c^2),

waarin z_b en z_c de lengtes van de zwaartelijnen uit respectievelijk B en C zijn.

Gelijke oppervlakken[bewerken]

Triangle.Centroid.Median.png

Iedere zwaartelijn deelt de oppervlakte van de driehoek in twee gelijke helften. Er zijn geen andere lijnen door het zwaartepunt, die ook de oppervlakte van de driehoek in twee gelijke helften delen.

De drie zwaartelijnen van een driehoek delen de driehoek in zes driehoeken met gelijke oppervlakten. In de figuur zijn dit de driehoeken AOD, DOB, BOE, EOC, COF en FOA.