Zwaartepunt

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Geometrisch zwaartepunt van een driehoek

Het zwaartepunt van een object is het punt ten opzichte waarvan de massa van dat object in evenwicht is. In dit punt wordt in de natuurkunde de zwaartekracht gedacht aan te grijpen, als zij wordt voorgesteld als een puntlast. De termen gewichtszwaartepunt en massazwaartepunt worden soms gebruikt om deze definitie te onderscheiden van die van het geometrisch zwaartepunt.

Het gewichtszwaartepunt kan men zich als volgt voorstellen: als in het zwaartepunt van een willekeurige tweedimensionale figuur een gat wordt gemaakt, en daardoorheen een spijker wordt gestoken, dan zal de figuur geen 'voorkeurspositie' aannemen. De figuur zal in iedere willekeurige stand (ten opzichte van een denkbeeldig horizontaal vlak) in evenwicht zijn.

Een veralgemening van het gewichtzwaartepunt naar massa die tot meerdere objecten kan behoren is het massamiddelpunt.

Het geometrisch zwaartepunt van een driedimensionaal object is het punt waar omheen het volume gelijk is verdeeld. Formeel is dit het snijpunt van alle vlakken die het object in twee even grote delen verdelen. Voor een (tweedimensionale) driehoek is dit het snijpunt van de drie zwaartelijnen, die elk van een van de hoekpunten naar het midden van de tegenovergelegen zijde lopen.

Men kan deze concepten ook op de volgende manier interpreteren. Het geometrisch zwaartepunt is de gemiddelde positie van alle punten waaruit het object (lichaam) bestaat, terwijl het massazwaartepunt de gewogen gemiddelde positie van die punten is, waarbij de massa van elk punt het relatieve belang ervan aangeeft.

Wiskundige definitie[bewerken]

Bepalen van het zwaartepunt van een rechthoek

Indien de oppervlakte A van een begrensd gebied G van het tweedimensionale vlak berekenbaar is, kan het zwaartepunt van het gebied G bepaald worden via de volgende formule:

x_Z = \frac 1 A \int_G x\,\mathrm dA, \quad y_Z = \frac 1 A \int_G y\, \mathrm dA \quad

Hierbij wordt een infinitesimaal klein deeltje met oppervlakte dA uit het binnengebied van gebied G genomen. De oppervlakte van dit deeltje wordt dan vermenigvuldigd met de x- resp. de y-coördinaat van het zwaartepunt van het deeltje. Doordat het deeltje oneindig klein is, is het een punt. Hierdoor zijn de coördinaten van het zwaartepunt gelijk aan de coördinaten van het deeltje. Dit wordt dan geïntegreerd over het volledige binnengebied van G. Deze term wordt ook het statisch moment, in de x-richting resp. in de y-richting, genoemd. Door deze term door de oppervlakte van G te delen, verkrijgt men de x- resp. de y-coördinaat van het zwaartepunt van G.

Meer algemeen kan men analoog het zwaartepunt van een deelverzameling van de Euclidische ruimte van willekeurige dimensie bekijken. Het bestaat niet voor elke deelverzameling: er zijn deelverzamelingen waarbij de integralen niet alle bestaan, of waarbij we oneindig door oneindig of nul door nul zouden moeten delen. Bij een kromme in de twee- of meerdimensionale ruimte of een oppervlak in de driedimensionale ruimte moet de definitie aangepast worden (overeenkomend met een "massa" per lengte- of oppervlakte-eenheid) om niet nul gedeeld door nul te krijgen.

Voor homogene fysieke objecten komt de wiskundige definitie overeen met de natuurkundige.

Eenvoudig voorbeeld[bewerken]

Berekening van het zwaartepunt van een rechthoek, met hoogte H en breedte B.

De oppervlakte A van de rechthoek wordt berekend door de hoogte met de breedte te vermenigvuldigen: A=HB.

De term \mathrm{d}A kan in beginsel op dezelfde manier berekend worden. Echter, omdat de hoogte H niet van de x-waarde afhangt, wordt in plaats van een infinitesimaal klein deeltje, een infinitesimaal dun strookje met breedte \mathrm{d}x genomen. De oppervlakte \mathrm{d}A van dit rechthoekig strookje is het product H\mathrm{d}x. Door x\mathrm{d}A=xH\mathrm{d}x te integreren over de breedte B krijgen we na uitwerking de x-coördinaat van het zwaartepunt.

x_Z = \frac 1{H B} \int_{0}^{B} x\, H \mathrm{d}x=\frac  1{H B} H \frac {B^2} 2 = \frac B2

Op analoge wijze kan ook y_Z bepaald worden:

y_Z = \frac H2.

Driehoek[bewerken]

Triangle centroid 1.svg Triangle centroid 2.svg

Het zwaartepunt van een driehoek heeft barycentrische coördinaten (1:1:1), en ligt op de rechte van Euler. Het is het driehoekscentrum met Kimberlingnummer X(2). De Cartesische coördinaten van het zwaartepunt van een driehoek zijn de gemiddelden van de coördinaten van de hoekpunten.

Zwaartepunt van een gebied onder de grafiek van een functie[bewerken]

Zwaartepunt van een gebied onder een functie

Als een gebied ingesloten wordt door de grafiek een functie en de x-as in een interval x1,x2, dan is het mogelijk het zwaartepunt van dit gebied te berekenen aan de hand van de volgende formules:

x_Z = \frac{\int_{x_1}^{x_2} x f(x) \; dx}{\int_{x_1}^{x_2} f(x) \; dx}
y_Z = \frac{\int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2 \; dx}{2  \int_{x_1}^{x_2} f(x) \; dx}

Overige betekenissen[bewerken]

Zwaartepunt wordt ook gebruikt ter aanduiding van het belangrijkste (onder)deel of aspect van een zaak: "Het zwaartepunt van het project is verschoven van innovatie en onderzoek naar het toepassingsgericht gebruiken van de expertise uit de voorgaande jaren".

Zie ook[bewerken]