Zwaartepunt

Geometrisch zwaartepunt van een driehoek

Het zwaartepunt van een object is het punt ten opzichte waarvan de massa van dat object in evenwicht is. Hier wordt in de natuurkunde de zwaartekracht gedacht aan te grijpen, als zij wordt voorgesteld als een puntlast. De termen gewichtszwaartepunt en massazwaartepunt worden soms gebruikt om deze definitie te onderscheiden van die van het geometrisch zwaartepunt.

Het gewichtszwaartepunt kan men zich als volgt voorstellen: als in het zwaartepunt van een willekeurige tweedimensionale figuur een gat wordt gemaakt, en daardoorheen wordt een spijker gestoken, dan zal de figuur geen 'voorkeurspositie' aannemen, maar in iedere willekeurige hoek (ten opzichte van een denkbeeldig horizontaal vlak) kunnen worden geplaatst.

Een veralgemening van het gewichtzwaartepunt naar massa welke tot meerdere objecten kan behoren is het massamiddelpunt.

Het geometrisch zwaartepunt van een driedimensionaal object is het punt waar omheen het volume gelijk is verdeeld. Formeel is dit het snijpunt van alle vlakken die het object in twee even grote delen verdelen. Voor een (tweedimensionale) driehoek is dit het snijpunt van de drie zwaartelijnen, die elk van een van de hoekpunten naar het midden van de tegenovergelegen zijde lopen.

Men kan deze concepten ook op de volgende manier interpreteren. Het geometrisch zwaartepunt is de gemiddelde positie van alle punten waaruit het object (lichaam) bestaat, terwijl het massazwaartepunt de gewogen gemiddelde positie van die punten is, waarbij de massa van elk punt het relatieve belang ervan aangeeft.

Zwaartepunt bepalen

Bepalen van het zwaartepunt van een rechthoek

Indien de oppervlakte van een begrensd gedeelte A van het tweedimensionale vlak berekenbaar is, kan het zwaartepunt eenvoudig bepaald worden via de volgende formule:

$x_Z = \frac 1 A \int_A x\,\mathrm dA, \quad y_Z = \frac 1 A \int_A y\, \mathrm dA \quad$

Hierbij wordt een infinitesimaal klein deeltje met oppervlakte dA uit het binnengebied van de figuur A genomen. De oppervlakte van dit deeltje wordt dan vermenigvuldigd met de x- resp. de y-coördinaat van het zwaartepunt van het deeltje. Doordat het deeltje oneindig klein is, is het een punt. Hierdoor zijn de coördinaten van het zwaartepunt gelijk aan de coördinaten van het deeltje. Dit wordt dan geïntegreerd over het volledige binnengebied van de figuur A. Deze term wordt ook het statisch moment, in de x-richting resp. in de y-richting, genoemd. Door deze term door de oppervlakte van A te delen, verkrijgt men de x- resp. de y-coördinaat van het zwaartepunt van A.

Bij een rechthoek met hoogte H en breedte B kan dit, v.w.b. de x-coördinaat van het zwaartepunt, als volgt worden uitgewerkt.

$x_Z = \frac 1 {H B} \int_{0}^{B} x\,\mathrm H dx \quad$

De oppervlakte van de rechthoek A wordt berekend door de hoogte met de breedte te vermenigvuldigen: $A = HB$.

De term dA wordt in beginsel op dezelfde manier berekend. Echter, omdat de x-coördinaat van het zwaartepunt wordt gezocht, wordt in plaats van een infinitesimaal klein deeltje, een infinitesimaal dun schijfje met breedte dx genomen. Deze breedte dx wordt vermenigvuldigd met zijn hoogte, namelijk H. Door dit te integreren over de breedte B en verder uit te werken resulteert de x-coördinaat van het zwaartepunt.

$x_Z = \frac 1 {H B} H \frac {B^2} 2 = \frac {H B^2} {2 H B} = \frac B 2$

Op analoge wijze kan ook $y_Z$ bepaald worden: $y_Z = H / 2$.

Driehoek

Het zwaartepunt van een driehoek heeft barycentrische coördinaten (1:1:1), en ligt op de rechte van Euler. Het is het driehoekscentrum met Kimberlingnummer X(2). De Cartesische coördinaten van het zwaartepunt van een driehoek zijn de gemiddelden van de coördinaten van de hoekpunten.

Zwaartepunt van een oppervlakte onder een functie

Zwaartepunt van een oppervlakte onder een functie

Als een oppervlakte door een functie wordt bepaald, dan is het mogelijk het zwaartepunt van die oppervlakte te berekenen aan de hand van de volgende formule:

$x_Z = \frac{\int_{x_1}^{x_2} x f(x) \; dx}{\int_{x_1}^{x_2} f(x) \; dx}$

$y_Z = \frac{\int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2 \; dx}{2 \int_{x_1}^{x_2} f(x) \; dx}$

Overige betekenissen

Zwaartepunt wordt ook gebruikt ter aanduiding van het belangrijkste (onder)deel of aspect van een zaak: "Het zwaartepunt van het project is verschoven van innovatie en onderzoek naar het toepassingsgericht gebruiken van de expertise uit de voorgaande jaren".

Zie ook

• Drukkingspunt
• Middelpunt