Gebruiker:HJVerhagen/Hele-Shaw-stroom

Hele-Shaw-stroming is de stroming die plaatsvindt tussen twee evenwijdige vlakke platen, gescheiden door een smalle opening die aan bepaalde voorwaarden voldoet, genoemd naar Henry Selby Hele-Shaw, die hier in 1898 onderzoek naar deed. Verschillende problemen in de vloeistofmechanica kunnen worden benaderd als Hele-Shaw-stromingen en daarom is het onderzoek naar deze stromingen van belang. Benadering van de Hele-Shaw-stroming is vooral belangrijk voor microstromen. Dit komt door productietechnieken, die ondiepe vlakke configuraties creëren, en de doorgaans lage Reynolds-getallen van microstromen.

De voorwaarden waaraan moet worden voldaan zijn

${\frac {h}{l}}\ll 1,\qquad {\frac {Uh}{\nu }}{\frac {h}{l}}\ll 1$

Hierin is $h$ de spleetbreedte tussen de platen, $U$ is de karakteristieke snelheidsschaal, $l$ is de karakteristieke lengteschaal in richtingen evenwijdig aan de plaat en $\nu$ is de kinematische viscositeit. In het bijzonder het Reynoldsgetal $Re=Uh/\nu$ hoeft niet altijd klein te zijn, maar kan van dezelfde orde of groter zijn, zolang het maar voldoet aan de voorwaarde $Re(h/l)\ll 1.$In termen van het Reynoldsgetal $Re_{l}=Ul/\nu$ gebaseerd op $l$, wordt de voorwaarde$Re_{l}(h/l)^{2}\ll 1.$

De vergelijking van Hele-Shaw-stroming is identiek aan die van niet-viskeuze potentiaalstroming en aan de stroming van vloeistof door een poreus medium ( de wet van Darcy ). Het maakt dus visualisatie van dit soort stroming in twee dimensies mogelijk.

Wiskundige formulering van Hele-Shaw-stromen

Een schematische weergave van een Hele-Shaw-configuratie.

Als $x$, $y$ de richtingen evenwijdig aan de vlakke platen zijn, en $z$ de richting loodrecht daarop, met $h$ zijnde de opening tussen de platen (bij $z=0,h$ ) en $l$ de relevante karakteristieke lengteschaal in de $xy$ -richting. Onder de hierboven genoemde grenzen worden de onsamendrukbare Navier-Stokes-vergelijkingen in de eerste benadering [6]

${\begin{aligned}{\frac {\partial p}{\partial x}}=\mu {\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}},\quad {\frac {\partial p}{\partial y}}&=\mu {\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial z^{2}}},\quad {\frac {\partial p}{\partial z}}=0,\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}&=0,\\\end{aligned}}$

Hierin is $\mu$ de viscositeit . Deze vergelijkingen zijn vergelijkbaar met grenslaagvergelijkingen, behalve dat er geen niet-lineaire termen zijn. In de eerste benadering hebben we dan, na het opleggen van de no-slip randvoorwaarden bij $z=0,h$ ,

${\begin{aligned}p&=p(x,y),\\v_{x}&=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}z(h-z),\\v_{y}&=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}z(h-z)\end{aligned}}$

De vergelijking voor $p$ wordt verkregen uit de continuïteitsvergelijking. Door de continuïteitsvergelijking vanaf de andere kant van het stroombaan te integreren en randvoorwaarden voor ondoorlatende wanden op te leggen, krijgen we

$\int _{0}^{h}\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\right)dz=0,$

wat leidt tot de Laplace-vergelijking :

${\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial y^{2}}}=0.$

Deze vergelijking wordt aangevuld met passende randvoorwaarden. De randvoorwaarden voor ondoorlatende zijwanden worden bijvoorbeeld: ${\mathbf {\nabla } }p\cdot \mathbf {n} =0,$ waar $\mathbf {n}$ is een eenheidsvector loodrecht op de zijwand (merk op dat op de zijwanden geen no-slip randvoorwaarden kunnen worden opgelegd). De grenzen kunnen ook gebieden zijn die aan constante druk zijn blootgesteld, in welk geval er sprake is van een Dirichlet-grensvoorwaarde $p$ is gepast. Op soortgelijke wijze kunnen ook periodieke randvoorwaarden worden gebruikt. Er kan ook worden opgemerkt dat de verticale snelheidscomponent in de eerste benadering gelijk is aan

$v_{z}=0$

Dit volgt uit de continuïteitsvergelijking. Terwijl de snelheidsgrootte ${\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}$ varieert in de $z$ richting, is de richting van de snelheidsvector $\tan ^{-1}(v_{y}/v_{x})$ onafhankelijk van $z$ richting, dat wil zeggen dat stroomlijnpatronen op elk niveau zijn vergelijkbaar. De vorticiteitsvector ${\boldsymbol {\omega }}$ heeft de componenten

$\omega _{x}={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}(h-2z),\quad \omega _{y}=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}(h-2z),\quad \omega _{z}=0.$

Omdat $\omega _{z}=0$, komen de stroomlijnpatronen in het $xy$ -vlak dus overeen met potentiaalstroming (niet-roterende stroming). Maar tegenstelling tot potentiaalstroming is hier de circulatie $\Gamma$ rond elke gesloten contour $C$ (parallel aan de $xy$ -vlak), ongeacht of het een vast object omsluit of niet, nul is,

$\Gamma =\oint _{C}v_{x}dx+v_{y}dy=-{\frac {1}{2\mu }}z(h-z)\oint _{C}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy\right)=0$

waarbij de laatste integraal op nul wordt gezet omdat $p$ is een functie met één waarde en de integratie vindt plaats via een gesloten contour.

Dieptegemiddelde vorm

In een Hele-Shaw-stroombaan kan men bijvoorbeeld de dieptegemiddelde versie van elke fysieke grootheid (bijvoorbeeld $\varphi$)definiëren door

$\langle \varphi \rangle \equiv {\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}\varphi dz.$

Dan voldoet de tweedimensionale dieptegemiddelde snelheidsvector $\mathbf {u} \equiv \langle \mathbf {v} _{xy}\rangle$, waarbij $\mathbf {v} _{xy}=(v_{x},v_{y})$, aan de wet van Darcy

$-{\frac {12\mu }{h^{2}}}\mathbf {u} =\nabla p\quad {\text{with}}\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.$

Verder geldt $\langle {\boldsymbol {\omega }}\rangle =0.$

Hele-Shaw-cel

De term Hele-Shaw-cel wordt gebruikt voor die gevallen waarin een vloeistof van boven of onder de laag in de ondiepe geometrie wordt geïnjecteerd, en wanneer de vloeistof wordt begrensd door een andere vloeistof of gas. Voor dit soort stromen worden de randvoorwaarden bepaald door drukken en oppervlaktespanningen.

Referenties

[[Categorie:Vloeistofdynamica]] [[Categorie:Grondmechanica]] [[Categorie:Wikipedia:Pagina's met vertalingen die niet zijn nagekeken]]