Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
De eerste 5 laguerre-polynomen.
In de wiskunde zijn de laguerre-polynomen, genoemd naar Edmond Laguerre (1834 - 1886), oplossingen van de
-de differentiaalvergelijking van Laguerre:
![{\displaystyle xy''+(1-x)y'+ny=0,\,\qquad n=0,1,2,3\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131f7368c25b6553ee29e4c44f2b8675e6e038ba)
Laguerre-polynomen vinden toepassing in de kwantummechanica, in het radiële deel van de oplossing van de schrödingervergelijking voor een 1-elektron atoom.
De
-de laguerre-polynoom
is een polynoom van de graad
die gegeven wordt door de rodriguez-formule:
![{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{n}e^{-x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10cdbe279b3723cdcf082c45e6eea1c7289705c3)
Voor de zo gedefinieerde laguerre-polynomen geldt:
![{\displaystyle L_{n}(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3662d45ed9ae7f53a3a4f0ad4834821f2b72f7)
Fysici gebruiken vaak een definitie waarbij
-de laguerre-polynoom een factor
(
faculteit) groter is.
De eerste laguerre-polynomen zijn:
|
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3
|
|
4
|
|
5
|
|
6
|
|
Tussen de polynomen bestaan de volgende recursieve betrekkingen:
![{\displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d08880e618b24d47dc94cdc151d7ddc9759415)
en
![{\displaystyle xL_{n}'(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fce5d90c00107cce357075d60b6d9f58fd633ac)
Laguerre-polynomen vormen een orthonormaal stelsel met betrekking tot het inproduct:
![{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20bffa575212b313bf9a23cb3b957076c7e9d65e)
Er geldt:
![{\displaystyle \langle L_{m},L_{n}\rangle =\delta _{m,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2795491ab79e93f49852047a29028a80c52f1c)
met
de kronecker delta
De laguerre-polynomen kunnen in het complexe vlak ook uitgedrukt worden als complexe kringintegraal om de oorsprong, dus als een complexe integraal:
![{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-xz/(1-z)}}{(1-z)\,z^{n+1}}}\,\mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3994dd97df8e27d04a54660cefc6e042886efca3)
De polynoom-oplossingen van de differentiaalvergelijking
![{\displaystyle xy''+(\alpha +1-x)y'+ny=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfebf5a6b7ed3182ab2ae4296376c1e8469da3f0)
worden gegeneraliseerde laguerre-polynomen genoemd.
De formule van Rodriguez voor deze polynomen is
![{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96e984583019a8503d6d6316366d8882e359170)
De gewone laguerre-polynomen zijn een speciaal geval:
![{\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e3d0fe172073c7c14b30f3e27e4b5106d663f61)
De eerste gegeneraliseerde laguerre-polynomen zijn:
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\L_{1}^{(\alpha )}(x)&=-x+\alpha +1\\L_{2}^{(\alpha )}(x)&={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}\\L_{3}^{(\alpha )}(x)&={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a1af51ee9e9fa1f6a149a6c3952f5eba914363)