Bolić begon zijn carrière in zijn geboortestad Zenica, bij NK Čelik Zenica (1988 - 1991). Bolić deed het daar goed en viel al snel op bij grotere clubs. In 1991 werd hij overgenomen door de JoegoslavischeRode Ster Belgrado. Hier kwam de aanvaller in contact met andere Europese voetbalteams in de Europacup I.
De meest succesvolle jaren van Bolić waren in zijn tijd bij Fenerbahçe. Aldaar werd hij één keer kampioen (1995/96) en werd hij twee keer clubtopscorer. Iets wat de meeste Fenerbahçe-fans zullen bijblijven vond plaats op 30 oktober1996. Fenerbahçe moest die dag in Manchester tegen Manchester United voetballen voor de UEFA Champions League. De Bosnische aanvaller maakte een eind aan een veertigjarig record van Manchester United. De club verloor al 40 jaar geen thuisduel in Europees verband. Bolić maakte 13 minuten voor het einde van de wedstrijd de 0-1.
Elvir Bolić is met zijn 129 doelpunten in de Turkse voetbaldivisies nog steeds de meest scorende buitenlandse speler in Turkije. Bolić had hiervoor 280 wedstrijden nodig.