Zoek dit woord op in WikiWoordenboek

Aannemelijkheidsfunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de statistiek is de aannemelijkheidsfunctie de functie van een of meer parameters die bij een gegeven steekproefuitkomst als functiewaarde de kans(functie) of kansdichtheid van die uitkomst heeft. Eenvoudig gezegd is het de kans of kansdichtheid van de steekproefuitkomst, opgevat als functie van de onbekende parameter(s). De aannemelijkheidsfunctie geeft aan hoe aannemelijk een bepaalde waarde van de parameter is in het licht van de waarnemingen. Bij de toepassingen van de aannemelijkheidsfunctie is niet zozeer de waarde van belang, maar het maximum, zoals bij de methode van de grootste aannemelijkheid, of bij vergelijking het quotiënt van twee aannemelijkheidsfuncties, zoals bij de aannemelijkheidsquotiënttoets.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Discreet[bewerken | brontekst bewerken]

Als een familie kansfuncties is met parameter en uit een van deze verdelingen is een steekproef met uitkomst getrokken, dan heet de functie , gedefinieerd door:

,

de aannemelijkheidsfunctie van .

Continu[bewerken | brontekst bewerken]

Als een familie kansdichtheden is met parameter , en uit een van deze verdelingen is een steekproef met uitkomst getrokken, dan heet de functie , gedefinieerd door:

,

de aannemelijkheidsfunctie van .

Aselecte steekproef[bewerken | brontekst bewerken]

In het belangrijke geval van een aselecte steekproef is de simultane kansfunctie of kansdichtheid het product van de afzonderlijke kansfuncties of dichtheden , zodat:

Meestal is het dan voldoende met de logaritme van de aannemelijkheidsfunctie te werken, waardoor het product overgaat in een som.

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

Binomiale verdeling[bewerken | brontekst bewerken]

Uit een binomiale verdeling met parameter en onbekende succeskans is een waarneming gedaan. De aannemelijkheidsfunctie van bij gegeven is:

De aannemelijkheidsfunctie is maximaal voor ; deze waarde van heet de meest aannemelijke waarde (schatting).

Voor bijvoorbeeld de waarneming is de aannemelijkheid van de parameterwaarde :

In de onderstaande tabel staat voor enkele waarden van de parameter :

0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55
0,06 0,13 0,20 0,25 0,27 0,25 0,21 0,17 0,12 0,07

De waarde is niet erg aannemeljk, maar 6%, terwijl de waade veel aannemelijker is, namelijk 25%. Het meest aannemelijk is met een aannemelijkheid 27%.

Normale verdeling[bewerken | brontekst bewerken]

Uit een normale verdeling met onbekende verwachtingswaarde en standaardafwijking is een aselecte steekproef van omvang 100 getrokken. De aannemelijkheidsfunctie van het paar is:

waarin de kansdichtheid van de standaardnormale verdeling is.

Uniforme verdeling[bewerken | brontekst bewerken]

Uit een uniforme verdeling op het interval met onbekende bovengrens is een aselecte steekproef getrokken. De aannemelijkheidsfunctie van is:

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]