Aannemelijkheidsquotiënttoets

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de statistiek is een aannemelijkheidsquotiënttoets, vaak ook aangeduid met de Engelse term likelihood-ratiotest, een parametrische toets die als toetsingsgrootheid een aannemelijkheidsquotiënt, of een functie daarvan, heeft. De toets vergelijkt de aannemelijkheid van de parameterwaarde(n) onder de nulhypothese met de aannemelijkheid van de waarde(n) onder de alternatieve hypothese en verwerpt de nulhypothese als de parameterwaarde(n) onder de alternatieve hypothese significant aannemelijker zijn dan die onder de nulhypothese. Veel klassieke toetsen, zoals de F-toets en de t-toets voor twee steekproeven kunnen als aannemelijkheidsquotiënttoets beschouwd worden.

Enkelvoudige hypothesen[bewerken]

In het eenvoudige geval van een enkelvoudige nul- en alternatieve hypothese

tegen

,

is de toetsingsgrootheid van de aannemelijkheidsquotiënttoets gegeven door het aannemelijkheidsquotiënt[1][2] (verondersteld dat dit goed gedefinieerd is)

of equivalent door

,

waarin de aannemelijkheidsfunctie is en de betrokken kansfunctie of kansdichtheid.

De nulhypothese wordt verworpen voor kleine waarden van het aannemelijkheidsquotiënt, immers in die gevallen is de alternatieve waarde van de parameter aannemelijker dan de waarde . Het kritieke gebied is dus:

Volgens het lemma van Neyman en Pearson is deze aannemelijkheidsquotiënttoets de meest onderscheidende toets onder de toetsen met dezelfde onbetrouwbaarheid (statistiek).

Samengestelde hypothesen[bewerken]

In het algemeen hebben de nul- en alternatieve hypothese de vorm

tegen

Daarbij zullen in veel gevallen en een partitie vormen van de parameterruitme , zodat het complement is van .

De toetsingsgrootheid van de aannemelijkheidsquotiënttoets wordt gegeven door het quotiënt

,

waarin

de aannemelijkheidsfunctie is, met de betrokken kansfunctie of kansdichtheid.[3]

De nulhypothese wordt ook hier verworpen voor kleine waarden van het aannemelijkheidsquotiënt. Het kritieke gebied is dus:

Opmerking[bewerken]

Sommige auteurs definiëren op equivalente wijze het aannemelijkheidsquotiënt als het omgekeerde van het hier gedefinieerde.[4]

Verdeling onder de nulhypothese[bewerken]

Voor het bepalen van de bovengenoemde kritieke waarde is de verdeling onder de nulhypothese nodig van de toetsingsgrootheid . In veel gevallen is deze verdeling zeer moeilijk te bepalen of niet exact bekend, maar is wel een asymptotische benadering mogelijk.

Logaritme[bewerken]

In veel gevallen zal de toets uitgevoerd worden met een aselecte steekproef. Dan is de simultane verdeling bepaald door:

Het is dan veelal eenvoudiger om te werken met de logaritme van de aannemelijkheidsfunctie:

Omdat de logaritme monotoon stijgend is, zal de toets gebaseerd op de logaritme van het aannemelijkheidsquotiënt equivalent zijn met de aannemelijkheidsquotiënttoets zelf.

Voorbeeld[bewerken]

De stochastische variabelen vormen een aselecte steekproef uit een normale verdeling met bekende variantie en onbekende verwachtingswaarde . Voor het toetsen van

tegen

met de aannemelijkheidsquotiënttoets is de toetsingsgrootheid:

De nulhypothese wordt verworpen voor kleine waarden van , wat erop neerkomt dat

of equivalent

,

wat de bekende Gauß-toets oplevert.

In dit geval zou ook goed de logaritme van het aannemelijkheidsquotiënt gebruikt kunnen worden:

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]