Absolute convergentie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Absolute convergentie is een begrip uit de analyse, een deelgebied van de wiskunde, waarmee een eigenschap aangeduid wordt van een reeks van getallen waarvan de som van de absolute waarden van de te sommeren getallen eindig is. De term wordt ook wel gebruikt voor een integraal als de integraal van de absolute waarde van de integrand eindig is.

Definitie[bewerken]

Een reëel- of complexwaardige reeks \sum_{n=0}^\infty a_n heet absoluut convergent als:

\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right| < \infty.

De definitie wordt uitgebreid tot genormeerde ruimten. Een reeks \sum_{n=0}^\infty x_n van elementen in een genormeerde ruimte met norm \|\cdot\| heet absoluut convergent, als:

\sum_{n=0}^\infty \|x_n\| < \infty.

Eigenschappen[bewerken]

Een absoluut convergente reeks is convergent. Het permuteren van de termen verandert de convergentie en limiet niet.

Alternatief[bewerken]

Als een reeks niet absoluut convergent is, is de som van de absolute waarden oneindig. Een convergente reeks die niet absoluut convergent is heet een voorwaardelijk convergente reeks. Voor iedere waarde, inclusief oneindig en min oneindig, is er een permutatie van de termen van de reeks waarbij de som van de zo gevormde nieuwe reeks gelijk is aan die waarde.

Belang[bewerken]

Absolute convergentie is van essentieel belang voor de studie van oneindige reeksen, omdat de eigenschap enerzijds sterk genoeg is om te garanderen dat zulke reeksen bepaalde fundamentele eigenschappen van eindige sommen behouden, waarvan de belangrijkste de omlegging van de termen en de convergentie van het product van twee oneindige reeksen zijn, en anderzijds zwak genoeg om in de praktijk vaak voor te komen.