Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de wiskunde zegt de acht-kwadratenidentiteit van Degen dat het product van twee getallen, die elk op zich een som van acht kwadraten zijn, zelf ook weer een som van acht kwadraten is. Meer specifiek:
(
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
+
a
4
2
+
a
5
2
+
a
6
2
+
a
7
2
+
a
8
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
+
b
4
2
+
b
5
2
+
b
6
2
+
b
7
2
+
b
8
2
)
=
{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{8}^{2})=\,}
(
a
1
b
1
−
a
2
b
2
−
a
3
b
3
−
a
4
b
4
−
a
5
b
5
−
a
6
b
6
−
a
7
b
7
−
a
8
b
8
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8})^{2}+\,}
(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
+
a
3
b
4
−
a
4
b
3
+
a
5
b
6
−
a
6
b
5
−
a
7
b
8
+
a
8
b
7
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}+a_{5}b_{6}-a_{6}b_{5}-a_{7}b_{8}+a_{8}b_{7})^{2}+\,}
(
a
1
b
3
−
a
2
b
4
+
a
3
b
1
+
a
4
b
2
+
a
5
b
7
+
a
6
b
8
−
a
7
b
5
−
a
8
b
6
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}+a_{5}b_{7}+a_{6}b_{8}-a_{7}b_{5}-a_{8}b_{6})^{2}+\,}
(
a
1
b
4
+
a
2
b
3
−
a
3
b
2
+
a
4
b
1
+
a
5
b
8
−
a
6
b
7
+
a
7
b
6
−
a
8
b
5
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}+a_{5}b_{8}-a_{6}b_{7}+a_{7}b_{6}-a_{8}b_{5})^{2}+\,}
(
a
1
b
5
−
a
2
b
6
−
a
3
b
7
−
a
4
b
8
+
a
5
b
1
+
a
6
b
2
+
a
7
b
3
+
a
8
b
4
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{5}-a_{2}b_{6}-a_{3}b_{7}-a_{4}b_{8}+a_{5}b_{1}+a_{6}b_{2}+a_{7}b_{3}+a_{8}b_{4})^{2}+\,}
(
a
1
b
6
+
a
2
b
5
−
a
3
b
8
+
a
4
b
7
−
a
5
b
2
+
a
6
b
1
−
a
7
b
4
+
a
8
b
3
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{6}+a_{2}b_{5}-a_{3}b_{8}+a_{4}b_{7}-a_{5}b_{2}+a_{6}b_{1}-a_{7}b_{4}+a_{8}b_{3})^{2}+\,}
(
a
1
b
7
+
a
2
b
8
+
a
3
b
5
−
a
4
b
6
−
a
5
b
3
+
a
6
b
4
+
a
7
b
1
−
a
8
b
2
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{7}+a_{2}b_{8}+a_{3}b_{5}-a_{4}b_{6}-a_{5}b_{3}+a_{6}b_{4}+a_{7}b_{1}-a_{8}b_{2})^{2}+\,}
(
a
1
b
8
−
a
2
b
7
+
a
3
b
6
+
a
4
b
5
−
a
5
b
4
−
a
6
b
3
+
a
7
b
2
+
a
8
b
1
)
2
{\displaystyle (a_{1}b_{8}-a_{2}b_{7}+a_{3}b_{6}+a_{4}b_{5}-a_{5}b_{4}-a_{6}b_{3}+a_{7}b_{2}+a_{8}b_{1})^{2}\,}
Deze identiteit werd rond 1818 als eerste ontdekt door de Deense wiskundige Carl Ferdinand Degen . De identiteit werd onafhankelijk herontdekt door John Thomas Graves (1843) en Arthur Cayley (1845 ). De laatste twee leidden deze identiteit af, terwijl zij werkten aan de uitbreiding van de quaternionen , de octonionen . In algebraïsche termen betekent de identiteit dat de norm van het product van twee octonionen gelijk is aan het product van hun normen
‖
a
b
‖
=
‖
a
‖
‖
b
‖
{\displaystyle \|ab\|=\|a\|\|b\|}
Vergelijkbare uitspraken zijn waar voor quaternionen (vier-kwadratenidentiteit van Euler ), complexe getallen (de Brahmagupta-Fibonacci-twee kwadratenidentiteit ) en de reële getallen. In 1898 bewees Adolf Hurwitz dat er geen vergelijkbare bilineaire identiteit voor 16 kwadraten (sedenionen ) of een ander aantal kwadraten bestaat, behalve voor 1, 2, 4 en 8 kwadraten. In de jaren 1960 toonden H. Zassenhaus , W. Eichhorn en A. Pfister (zelfstandig) echter aan dat er een niet-bilineaire identiteit voor 16 kwadraten kan bestaan.
